（新课标）高考数学专题五解析几何第2讲圆锥曲线的定义、方程与性质练习理新人教A版

第2讲 圆锥曲线的定义、方程与性质

一、选择题

x2y2

1．已知双曲线2－2＝1(a＞0，b＞0)的焦点到渐近线的距离为3，且离心率为2，则该

ab双曲线的实轴的长为( )

A．1 C．2

B．3 D．23

解析：选C．由题意知双曲线的焦点(c，0)到渐近线bx－ay＝0的距离为即c－a＝3，又e＝＝2，所以a＝1，该双曲线的实轴的长为2a＝2.

2

2

bc＝b＝3，22a＋bca2．若抛物线y＝4x上一点P到其焦点F的距离为2，O为坐标原点，则△OFP的面积为( ) 1A． 23C． 2

B．1 D．2

2

2

解析：选B．设P(x0，y0)，依题意可得|PF|＝x0＋1＝2，解得x0＝1，故y0＝4×1，解得

y0＝±2，不妨取P(1，2)，则△OFP的面积为×1×2＝1.

3．(2019·高考全国卷Ⅲ)双曲线C：－＝1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，

42

12

x2y2

O为坐标原点．若|PO|＝|PF|，则△PFO的面积为( )

32A．

4C．22

32B． 2D．32

2

解析：选A．不妨设点P在第一象限，根据题意可知c＝6，所以|OF|＝6. 又tan∠POF＝＝

ba2623，所以等腰三角形POF的高h＝×＝， 2222

1332

所以S△PFO＝×6×＝.

224

x2y2

4．(2019·昆明模拟)已知F1，F2为椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的左、右焦点，B为C的短

ab|AF1|

轴的一个端点，直线BF1与C的另一个交点为A，若△BAF2为等腰三角形，则＝( )

|AF2|

1A． 32C． 3

1B． 2D．3

解析：选A．如图，不妨设点B在y轴的正半轴上，根据椭圆的定义，得|BF1|＋|BF2|＝

a3a2a，|AF1|＋|AF2|＝2a，由题意知|AB|＝|AF2|，所以|BF1|＝|BF2|＝a，|AF1|＝，|AF2|＝.

22

|AF1|1

所以＝.故选A．

|AF2|3

5．已知F是抛物线x＝4y的焦点，直线y＝kx－1与该抛物线在第一象限内交于点A，B，若|AF|＝3|FB|，则k的值是( )

A．3 C．

3 3

B．

3 2

2

23D． 3

解析：选D．显然k＞0.抛物线的准线l：y＝－1，设其与y轴交于点F′，则直线y＝kx－1过点F′.分别过点A，B作l的垂线，垂足分别为A′，B′，根据抛物线定义，得|AF||AF||AA′||F′A′|

＝|AA′|，|BF|＝|BB′|，根据已知，得＝＝3.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则

|BF||BB′||F′B′|

x1|AA′|2

＝＝＝3，即x1＝3x2①.联立抛物线方程与已知直线方程，消元得x－4kx＋4＝0，则x2|BB′|

2

x1＋x2＝4k②，由①②得x1＝3k，x2＝k，又x1x2＝4，所以3k·k＝4，即k＝，解得k＝

4

323

(负3

值舍去)．

x2y2

6．(2019·湖南湘东六校联考)已知椭圆Γ：2＋2＝1(a>b>0)的长轴长是短轴长的2倍，

ab→→

过右焦点F且斜率为k(k>0)的直线与Γ相交于A，B两点．若AF＝3FB，则k＝( )

A．1 C．3

B．2 D．2

→→

解析：选D．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为AF＝3FB，所以y1＝－3y2.因为椭圆Γ的长轴

x2y2

长是短轴长的2倍，所以a＝2b，设b＝t，则a＝2t，故c＝3t，所以2＋2＝1.设直线AB4tt的方程为x＝sy＋3t，代入上述椭圆方程，得(s＋4)y＋23sty－t＝0，所以y1＋y2＝－

2

2

2

23stt23stt122

，y1y2＝－2，即－2y2＝－2，－3y2＝－2，得s＝，k＝2，故选D． 2s＋4s＋4s＋4s＋42

二、填空题

22

x2y2

7．已知P(1，3)是双曲线C：2－2＝1(a>0，b>0)渐近线上的点，则双曲线C的离心率

ab是________．

解析：双曲线C的一条渐近线的方程为y＝x，P(1，3)是双曲线C渐近线上的点，则

babac＝3，所以离心率e＝＝

a答案：2

a2＋b2＝a2b21＋2＝2. a8．(2019·高考全国卷Ⅲ)设F1，F2为椭圆C：＋＝1的两个焦点，M为C上一点且在

3620第一象限．若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为________．

解析：不妨令F1，F2分别为椭圆C的左、右焦点，根据题意可知c＝36－20＝4.因为△MF1F2

为等腰三角形，所以易知|F1M|＝2c＝8，所以|F2M|＝2a－8＝4.设M(x，y)，

＋＝1，

3620??|FM|＝(x＋4)＋y＝64，?x＝3，则?得?

?y＝15，

x>0，??y>0，

2

2

2

1

x2y2

x2y2

所以M的坐标为(3，15)． 答案：(3，15)

9．(2019·洛阳尖子生第二次联考)过抛物线C：y＝2px(p>0)的焦点F的直线与抛物线C→→

交于A，B两点，且AF＝3FB，抛物线C的准线l与x轴交于点E，AA1⊥l于点A1，若四边形

2

AA1EF的面积为63，则p＝________．

解析：不妨设点A在第一象限，如图，作BB1⊥l于点B1，设直线AB与l的交点为D，由抛物线的定义及性质可知|AA1|＝|AF|，|BB1|＝|BF|，|EF|＝p.

|BD||BB1||BF|1m1

设|BD|＝m，|BF|＝n，则＝＝＝，即＝，所以m＝2n.

|AD||AA1||AF|3m＋4n3

又

|BB1||BD|nm22p＝，所以＝＝，所以n＝， |EF||DF|pm＋n33

因为|DF|＝m＋n＝2p，所以∠ADA1＝30°.

又|AA1|＝3n＝2p，|EF|＝p，所以|A1D|＝23p，|ED|＝3p，所以|A1E|＝3p，所以直1

角梯形AA1EF的面积为(2p＋p)·3p＝63，解得p＝2.

2

答案：2 三、解答题

x2y2

10．(2019·高考天津卷)设椭圆2＋2＝1(a>b>0)的左焦点为F，上顶点为B.已知椭圆的

ab短轴长为4，离心率为

5. 5

(1)求椭圆的方程；

(2)设点P在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M为直线PB与x轴的交点，点N在y轴的负半轴上，若|ON|＝|OF|(O为原点)，且OP⊥MN，求直线PB的斜率．

解：(1)设椭圆的半焦距为c，依题意，2b＝4，＝可得a＝5，b＝2，c＝1. 所以，椭圆的方程为＋＝1.

54

(2)由题意，设P(xp，yp)(xp≠0)，M(xM，0)．设直线PB的斜率为k(k≠0)，

ca5222

，又a＝b＋c， 5

x2y2

y＝kx＋2，??22

又B(0，2)，则直线PB的方程为y＝kx＋2，与椭圆方程联立?xy ＋＝1，??54

整理得(4＋5k)x＋20kx＝0， 20k可得xp＝－2，

4＋5k8－10k代入y＝kx＋2得yp＝2，

4＋5k2

2

2

yp4－5k2

进而直线OP的斜率为＝.

xp－10k2

在y＝kx＋2中，令y＝0，得xM＝－.

k由题意得N(0，－1)，所以直线MN的斜率为－.

2

4－5k?k?242302

由OP⊥MN，得·?－?＝－1，化简得k＝，从而k＝±.

－10k?2?55

2

k