11-8离散型随机变量及其概率分布（理）

[答案] D

[解析] 由条件知μ＝90，P(ξ<60)＝0.1， ∴P(ξ>120)＝0.1，

1

∴P(90≤ξ<120)＝[1－2P(ξ<60)]

21

＝×(1－0.2)＝0.4，故选D. 2

2．(2011·浙江五校联考)设随机变量ξ～B(2，p)，η～B(4，p)，5

若P(ξ≥1)＝，则P(η≥2)的值为( )

9

32A. 8165C. 81[答案] B

55122

[解析] 由P(ξ≥1)＝，得C2p(1－p)＋C2p＝，

9915

即9p－18p＋5＝0，解得p＝或p＝(舍去)，

33

2

22334

∴P(η≥2)＝C4p(1－p)2＋C4p(1－p)＋C44p

11

B. 2716D. 81

1212111＝6×()2×()2＋4×()3×＋()4＝. 3333327

3．签盒中有编号为1、2、3、4、5、6的6支签，从中任意取3支，设X为这3支签的号码之中最大的一个．则X的均值为( )

A．5 C．5.8 [答案] B

B．5.25 D．4.6

[解析] 由题意可知，X可以取3、4、5、6， 11C233P(X＝3)＝3＝；P(X＝4)＝3＝；

C620C620

2C23C145P(X＝5)＝3＝；P(X＝6)＝3＝，

C610C62

1331

∴E(X)＝3×＋4×＋5×＋6×＝5.25.

2020102

4．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴在y轴的左侧，其中a、b、c∈{－3，－2，－1,0,1,2,3}，在这些抛物线中，记随机变量ξ＝“|a－b|的取值”，则ξ的数学期望E(ξ)为( )

8321

A. B. C. D. 9553[答案] A

[解析] ∵对称轴在y轴左侧， b

∴－<0，∴ab>0，即a与b同号，

2a

111

∴满足条件的抛物线有2C3C3C7＝126条．

6×718×74ξ的取值为0、1、2，P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ

126312694×72

＝2)＝＝.

1269

1428

∴E(ξ)＝×0＋×1＋×2＝. 3999

5．(2011·龙岩月考)袋中有3个黑球，1个红球．从中任取2个，取到一个黑球得0分，取到一个红球得2分，则所得分数ξ的数学期望E(ξ)＝________

[答案] 1

C21C1C1133·1[解析] P(ξ＝0)＝2＝，P(ξ＝2)＝2＝，

C42C4211

∴E(ξ)＝0×＋2×＝1.

22

6．(2010·山东理)某学校举行知识竞赛，第一轮选拔共设有A、B、C、D四个问题，规则如下：

①每位参加者计分器的初始分均为10分，答对问题A、B、C、D分别加1分、2分、3分、6分，答错任一题减2分；

②每回答一题，计分器显示累计分数，当累计分数小于8分时，答题结束，淘汰出局；当累计分数大于或等于14分时，答题结束，进入下一轮；当答完四题，累计分数仍不足14分时，答题结束，淘汰出局；

③每位参加者按问题A、B、C、D顺序作答，直至答题结束． 311

假设甲同学对问题A、B、C、D回答正确的概率依次为，，，4231

，且各题回答正确与否相互之间没有影响． 4

(1)求甲同学能进入下一轮的概率；

(2)用ξ表示甲同学本轮答题结束时答题的个数，求ξ的分布列和数学期望E(ξ)．

[解析] 设A、B、C、D分别表示甲同学能正确回答第一、二、三、四个问题的事件，－A、－B、－C、－D分别为A、B、C、D的对立事件(例如－A表示甲同学第一题回答错误)．

3111

由题设条件知，P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，P(D)＝，P(－A)

4234

1123＝，P(－B)＝，P(－C)＝，P(－D)＝. 4234

(1)记“甲同学能进入下一轮”为事件W，则由题设条件知W＝ABC＋AB－CD＋A－BCD＋－ABCD＋－AB－CD，

∵A、B、C、D各事件相互独立，

∴P(W)＝P(A)·P(B)·P(C)＋P(A)·P(B)·P(－C)·P(D)＋P(A)·P(

－B

)·P(C)·P(D)

＋

P(

－A

)·P(B)·P(C)·P(D)

＋

P(－A)·P(B)·P(－C)·P(D)

311312131111111112＝××＋×××＋×××＋×××＋××42342344234423442311×＝. 44

(2)由题意知，ξ的可能取值为2、3、4，则 111－－－－P(ξ＝2)＝P(AB)＝P(A)·P(B)＝×＝， 428

3

P(ξ＝3)＝P(ABC＋A－B－C)＝P(A)P(B)P(C)＋P(A)P(－B)P(－C)＝

4113123××＋××＝. 234238

131

P(ξ＝4)＝1－P(ξ＝2)－P(ξ＝3)＝1－－＝，

882∴ξ的分布列为

ξ 2 3 4