考前三个月2015届高考数学（人教通用，文科）练透高考必会题型：专题2 第4练

A．(a，b)和(b，c)内 C．(b，c)和(c，＋∞)内 答案 A

B．(－∞，a)和(a，b)内 D．(－∞，a)和(c，＋∞)内

解析 由于a0，f(b)＝(b－c)(b－a)<0，f(c)＝(c－a)(c－b)>0.因此有f(a)·f(b)<0，f(b)·f(c)<0，

又因f(x)是关于x的二次函数，函数的图象是连续不断的曲线， 因此函数f(x)的两零点分别位于区间(a，b)和(b，c)内，故选A.

6．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c有两个极值点x1，x2.若f(x1)＝x1

解析 因为函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c有两个极值点x1，x2，可知关于导函数的方程f′(x)＝3x2＋2ax＋b＝0有两个不等的实根x1，x2.则方程3(f(x))2＋2af(x)＋b＝0的根的个数就是方程f(x)＝x1和f(x)＝x2的不等实根的个数之和，再结合图象可看出函数y＝f(x)的图象与直线y＝x1和直线y＝x2共有3个不同的交点，故所求方程有3个不同的实根．

7．若关于x的不等式(2x－1)2

解析 因为不等式等价于(－a＋4)x2－4x＋1<0，其中(－a＋4)x2－4x＋1＝0中的Δ＝4a>0，且11111有4－a>0，故0

2＋a2－a42＋a22549?1

，. 求的整数解集．所以3<≤4，解得a的范围为?916??2－a

8．已知函数f(x)＝x2－2ax＋2，当x∈[－1，＋∞)时，f(x)≥a恒成立，则a的取值范围________． 答案 [－3,1]

解析 因为f(x)＝(x－a)2＋2－a2， 所以此二次函数图象的对称轴为x＝a.

①当a∈(－∞，－1)时，f(x)在[－1，＋∞)上单调递增， 所以f(x)min＝f(－1)＝2a＋3.

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要使f(x)≥a恒成立，只需f(x)min≥a， 即2a＋3≥a，解得a≥－3，即－3≤a<－1. ②当a∈[－1，＋∞)时，f(x)min＝f(a)＝2－a2. 要使f(x)≥a恒成立，只需f(x)min≥a， 即2－a2≥a，解得－2≤a≤1，即－1≤a≤1. 综上，实数a的取值范围为[－3,1]．

9．已知函数f(x)＝2ax2＋2x－3.如果函数y＝f(x)在区间[－1,1]上有零点，则实数a的取值范围为______________． 1?答案 ??2，＋∞?

解析 若a＝0，则f(x)＝2x－3，

3

f(x)＝0?x＝?[－1,1]，不合题意，故a≠0.

2下面就a≠0分两种情况讨论：

15

①当f(－1)·f(1)≤0时，f(x)在[－1,1]上有一个零点，即(2a－5)(2a－1)≤0，解得≤a≤. 22

?

②当f(－1)·f(1)>0时，f(x)在[－1,1]上有零点的条件是?－1<－1<1，

2a

?f?－1?·f?1?>0，

1

，＋∞?. 综上，实数a的取值范围为??2?

1

－?f?1?≤0，f??2a?

5

解得a>. 2

π

10．已知定义在R上的单调递增奇函数f(x)，若当0≤θ≤时，f(cos2θ＋2msin θ)＋f(－2m－2)<0

2恒成立，则实数m的取值范围是________． 1

答案 (－，＋∞)

2

解析 方法一 f(cos2θ＋2msin θ)＋f(－2m－2)<0?f(cos2θ＋2msin θ)－1－sin2θ. π

当θ＝时，2m·0>－2，此时m∈R；

2

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1＋sin2θπ

当0≤θ<时，m>－，令t＝1－sin θ，

22?1－sin θ?11＋?1－t?12

则t∈(0,1]，此时m>－×＝－(t＋－2)．

2t2t12

设φ(t)＝－(t＋－2)，

2t

1

而φ(t)在t∈(0,1]上的值域是(－∞，－]，

21

故m>－.

2

方法二 同方法一，求得2m(1－sin θ)>－1－sin2θ， 设sin θ＝t，则t2－2mt＋2m＋1>0对于t∈[0,1]恒成立． 设g(t)＝t2－2mt＋2m＋1，其图象的对称轴方程为t＝m. ①当m<0时，g(t)在[0,1]上单调递增， 1

从而g(0)＝2m＋1>0，即m>－，

21

又m<0，所以－

2

②当0≤m≤1时，g(t)在[0，m]上单调递减，在[m,1]上单调递增， 从而g(m)＝m2－2m2＋2m＋1>0，即m2－2m－1<0， 所以1－2

③当m>1时，g(t)在[0,1]上单调递减，

从而g(1)＝1－2m＋2m＋1＝2>0恒成立，所以m>1. 1

综合①②③，可知m>－.

2

π

0，?，值域是[－5,1]，11．已知函数f(x)＝2asin2x－2 3asin xcos x＋a＋b(a≠0)的定义域是??2?求常数a，b的值．

1

解 f(x)＝2a·(1－cos 2x)－ 3asin 2x＋a＋b

213

＝－2a?cos 2x＋sin 2x?＋2a＋b

2?2?

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2

π

2x＋?＋2a＋b， ＝－2asin?6??πππ7

又∵0≤x≤，∴≤2x＋≤π，

2666π1

2x＋?≤1. ∴－≤sin?6??2因此，由f(x)的值域为[－5,1] a>0，

??1

可得?－2a×?－2?＋2a＋b＝1，

??－2a×1＋2a＋b＝－5，

a<0，??－2a×1＋2a＋b＝1，或?

1?－2a×?－?＋2a＋b＝－5，?2

???a＝2，?a＝－2，解得?或?

???b＝－5?b＝1.

12．已知函数f(x)＝ax2＋ax和g(x)＝x－a，其中a∈R，且a≠0.若函数f(x)与g(x)的图象相交于不同的两点A、B，O为坐标原点，试求△OAB的面积S的最大值． 解 依题意，f(x)＝g(x)，即ax2＋ax＝x－a， 整理得ax2＋(a－1)x＋a＝0，①

∵a≠0，函数f(x)与g(x)的图象相交于不同的两点A、B， ∴Δ>0，即Δ＝(a－1)2－4a2＝－3a2－2a＋1 ＝(3a－1)(－a－1)>0， 1

∴－1

3

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1

由①得x1x2＝1>0，x1＋x2＝－. a设点O到直线g(x)＝x－a的距离为d，

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则d＝|－a|2，

∴S＝11＋12

|x|－a|

21－x2|·2

＝12

－3a2－2a＋1 ＝1

2

－3??a＋13??2＋43

. ∵－1

3

且a≠0，

∴当a＝－13时，S取得最大值3

3

.

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