1990年考研数学三真题及全面解析

1990年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题

一、填空题(本题满分15分,每小题3分.把答案填在题中横线上.) (1) 极限lim(n?3n?n?n)?_________.

n??(2) 设函数f(x)有连续的导函数,f(0)?0,f?(0)?b,若函数

?f(x)?asinx,x?0,? F(x)??x?A,x?0?在x?0处连续,则常数A=___________.

(3) 曲线y?x与直线y?x?2所围成的平面图形的面积为_________.

2?x1?x2??a1,

?x?x?a,?232

(4) 若线性方程组?有解,则常数a1,a2,a3,a4应满足条件________.

x?x??a,3?34??x4?x1?a4

80(5) 一射手对同一目标独立地进行四次射击,若至少命中一次的概率为,则该射手的命

81中率为________.

二、选择题(本题满分15分,每小题3分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1) 设函数f(x)?x?tanx?esinx,则f(x)是 ( )

(A) 偶函数 (B) 无界函数 (C) 周期函数 (D) 单调函数 (2) 设函数f(x)对任意x均满足等式f(1?x)?af(x),且有f?(0)?b,其中a,b为非零常

数,则 ( ) (A) f(x)在x?1处不可导 (B) f(x)在x?1处可导,且f?(1)?a (C) f(x)在x?1处可导,且f?(1)?b (D) f(x)在x?1处可导,且f?(1)?ab (3) 向量组?1,?2,(A) ?1,?2,,?s线性无关的充分条件是 ( ) ,?s均不为零向量

(B) ?1,?2,(C) ?1,?2,(D) ?1,?2,,?s中任意两个向量的分量不成比例

,?s中任意一个向量均不能由其余s?1个向量线性表示 ,?s中有一部分向量线性无关

(4) 设A,B为两随机事件,且B?A,则下列式子正确的是 ( )

(A) P?A?B??P?A? (B) P?AB??P?A?

(C) PBA?P?B? (D) P?B?A??P(B)?P?A? (5) 设随机变量X和Y相互独立,其概率分布为

??m -1 1 P?X?m?

11 22m -1 1 P?Y?m? 11 22则下列式子正确的是 ( ) (A) X?Y (B) P?X?Y??0 (C) P?X?Y??

三、计算题(本题满分20分,每小题5分.) (1) 求函数I(x)?(2) 计算二重积分

域.

1 (D) P?X?Y??1 2?xelnt2[e,e]上的最大值. 在区间dt2t?2t?1?y2??xeDdxdy,其中D是曲线y?4x2和y?9x2在第一象限所围成的区

(x?3)n(3) 求级数?的收敛域. 2nn?1?(4) 求微分方程y??ycosx?(lnx)e

四、(本题满分9分)

?sinx的通解.

某公司可通过电台及报纸两种形式做销售某种商品的广告,根据统计资料,销售收入

R(万元)与电台广告费用x1(万元)及报纸广告费用x2(万元)之间的关系有如下经验公式:

2R?15?14x1?32x2?8x1x2?2x12?10x2.

(1) 在广告费用不限的情况下,求最优广告策略； (2) 若提供的广告费用为万元,求相应的最优广告策略.

五、(本题满分6分)

设f(x)在闭区间[0,c]上连续,其导数f?(x)在开区间(0,c)内存在且单调减少；

f(0)?0,试应用拉格朗日中值定理证明不等式:f(a?b)?f(a)?f(b),其中常数a、b满足条件0?a?b?a?b?c.

六、(本题满分8分)

已知线性方程组

?x1?x2?x3?x4?x5?a,?3x?2x?x?x?3x?0,?12345 ?x?2x?2x?6x?b,345?2??5x1?4x2?3x3?3x4?x5?2,(1) a、b为何值时,方程组有解

(2) 方程组有解时,求出方程组的导出组的一个基础解系； (3) 方程组有解时,求出方程组的全部解.

七、(本题满分5分)

已知对于n阶方阵A,存在自然数k,使得A?0,试证明矩阵E?A可逆,并写出其逆矩阵的表达式(E为n阶单位阵).

八、(本题满分6分)

设A是n阶矩阵,?1和?2是A的两个不同的特征值,X1,X2是分别属于?1和?2的特征向量.试证明X1?X2不是A的特征向量.

九、(本题满分4分)

k从0,1,2,,9十个数字中任意选出三个不同数字,试求下列事件的概率：

A1?{三个数字中不含0和5}；A2?{三个数字中不含0或5}.

十、(本题满分5分)

一电子仪器由两个部件构成,以X和Y分别表示两个部件的寿命(单位:千小时),已知

X和Y的联合分布函数为:

?1-e?0.5x?e?0.5y?e?0.5(x?y),若x?0,y?0, F(x,y)??0,其他.?(1) 问X和Y是否独立

(2) 求两个部件的寿命都超过100小时的概率?.

十一、(本题满分7分)

某地抽样调查结果表明,考生的外语成绩(百分制)近似服从正态分布,平均成绩为72

分,96分以上的占考生总数的%,试求考生的外语成绩在60分至84分之间的概率.

[附表]

x 0 ?(x) 表中?(x)是标准正态分布函数.