蝴蝶定理的八种证明及三种推广

蝴蝶定理的证明

定理：设M为圆内弦PQ的中点，过M作弦AB和CD。设AD和BC各相交PQ于点E和F，则M是EF的中点。

在蝴蝶定理的证明中有各种奇妙的辅助线，同时诞生了各种美妙的思想，蝴蝶定理在这些辅助线的帮助下，翩翩起舞！

证法1 如图2，作OU?AD，OV?BC，则垂足U，V分别为AD、BC的中点，且由于 ?EUO??EMO?90? ?FVO??FMO?90?

得M、E、U、O共圆；M、F、V、O共圆。 则?AUM=?EOM，?MOF??MVC

又?MAD??MCB，U、V为AD、BC的中点，从而?MUA??MVC，?AUM??MVC 则 ?EOM??MOF，于是ME=MF。

证法2 过D作关于直线OM的对称点D'，如图3所示，则 ?FMD'??EMD，MD=MD' 1 ○

联结D'M交圆O于C'，则C与C'关于OM对称，即

PUEMVDOACFQPC'?CQ。又

111?CFP=（QB+PC）=（QB+CC'+CQ）=BC'=?BD'C'

222故M、F、B、D'四点共圆，即?MBF??MD'F

而 ?MBF??EDM ○2 由○1、○2知，?DME??D'MF，故ME=MF。

B图 2APEMC'CFQ证法3 如图4，设直线DA与BC交于点N。对?NEF及截线AMB，?NEF及截线CMD分别应用梅涅劳斯定理，有

OBFMEANBFMEDNC???1，???1 MEANBFMEDNCFDD'由上述两式相乘，并注意到

NA?ND?NC?NB 得

图 3NFMANNDBFCFBF?CF????? 2MEAEEDBNCNAE?ED2APEMCFQ ??PM+MF??MQ-MF??PM?MF

?PM-ME??MQ+ME?PM2?ME222[2]

DOB化简上式后得ME=MF。2 不使用辅助线的证明方法

单纯的利用三角函数也可以完成蝴蝶定理的证明。

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图 4

证法 4 （Steven给出）如图5，并令

?DAB=?DCB???ADC=?ABC??AαPEδγγMδαCFQ?DMP=?CMQ?? ?AMP=?BMQ??PM?MQ?aME?x，MF?yDβOβBS?AMES?FCMS?EDMS?FMB????1即 由

S?FCMS?EDMS?FMBS?AME，

AM?AE?sin?FM?CM?sin?ED?MD?sin?MF?MB?sin?????1

MC?CF?sin?EM?MD?sin?FB?BM?sin?MA?ME?sin?图 5MF2CF?FBQF?FP?a?y??a?y?a2?y2化简得 ????222MEAE?EDPE?EQ?a?x??a?x?a?xy2a2?y2即 2?2从而 x?y,ME?MF。 2xa?x，

证法 5 令?PMD??QMC??，?QMB??AMP??，以点M为视点，对?MBC和?MAD分别应用张角定理，有

sin?????sin?sin?sin?????sin?sin???，??

MFMCMBMEMDMA上述两式相减，得

1?sin?sin??1sin????????MC?MD????MB?MA? ?MFMEMC?MDMA?MB??2设G、H分别为CD、AB的中点，由OM?PQ，有

yAE1CFQ2MB?MA?2MH?2OMcos?90?????2OMsin?MD?MC?2MG?2OMcos?90?????2OMsin?于是 sin??????故ME=MF。

DP2M11??1???0而????180?，知sin??????0，MFME??，

O23B图 64 （二） 运用解析几何的知识完成蝴蝶定理的证明

在数学中用函数的方法解决几何问题也是非常重要的方法，所以解析几何上夜出现了许多漂亮的证

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明蝴蝶定理的方法，以下列出几个例子以供参考。

证法 6 （单墫教授给出）如图6，建立直角坐标系，则圆的方程可设为

x2??y?a??R22。

直线AB的方程为y?k1x，直线CD的方程为y?k2x 。

由于圆和两相交直线组成了二次曲线系，其方程为

??x2??y?a??R2??????y?k1x??y?k2x????0

??222令y?0，知点E和点F的横坐标满足二次方程????k1k2?x??a?R?02?? ，

由于x的系数为0，则两根x1和x2之和为0，即x1??x2，故ME=MF。

证法 7 如图7建立平面直角坐标系，则圆的方程可写为

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PD2EA?x?a?2?y2?r2

。

则x1、x4分别是二次方

1直线AB、CD的方程可写为y?k1x,y?k2x2OM1CF又设A、B、C、D的坐标为?xi,yi?,i?1,2,3,4程

QB2，

图 73?x?a?222?k12x2?r2,?x?a??k2x?r2的一根。AD在y轴上的截距为

2k2x4?k1x1?x1?k1?k2?x1x4?y4?y1 y1??x1?k1x1??x2?x1x4?x1x4?x1。

同理，BC在y轴上的截距为

PFVB?k1?k2?x2x3x3?x2两

根

。，

C注意到x1、x2是方程

AMEQUOx?1?k?x212?2ax?a2?r2?0x2?2a?x2的

x3、x4是方程

D?1?k?22x?xx1?x22a?a20?r的两根，所以?22?34从而易

x1x2a?rx3x4，

图 8得

xxx1x2?34?0即ME?MF。

x1?x2x3?x4，

证法 8 如图8，以M为极点，MO为极轴建立极坐标系。因C、F、B三点共线，令

???????BMx??，?CMx??，则?C?Fsin??????F?Bsin??????C?Bsin?????

2???2?即 ?F??C?Bsin??????A?Dsin????? ○1 ?E? ○2

?Bcos???Ccos??Acos???Dcos?- 3 -

作OU?CD于U，作OV?AB于V。注意到?A?B??C?D ○3 由Rt?OUM与Rt?OVM可得

?B??A?D??C ○4 ?cos??cos?将○3○4代入○1○2可得?E??F，即ME=MF。

二 蝴蝶定理的推广和猜想

（一） 猜想 1 在蝴蝶定理中, P、 Q分别是 ED、 CF和AB的交点. 如果 P、 Q分别是 CE、 DF

和AB延长线的交点,我们猜想, 仍可能会有 PM = QM .

推论 1 过圆的弦 AB的中点M引任意两条弦 CD与 EF, 连结 CE、 DF并延长交 AB的延长线于 P、 Q. 求证: PM = QM.

证明;设AM =BM = a, PM = x,QM = y ;∠PM E = ∠QM F =α,∠PCM = ∠DFM =β ;

∠CM E = ∠DM F =γ,∠QDM = ∠CEM =δ ;

记 △PM E, △QM F,△PMC, △QMD的面积分别为 S1 , S2 , S3 , S4.

则由恒等式S2·S3·S4·S1= 1知M P·M Esin αMQ·M Fsinα · FQ·FM sin (π - β)CP·CM sin β ··MCsin (α+γ)·MD sin (α+γ)· DQ·DM sin δEP·EM sin (π - δ )=·DQ·M P2·EP·MQ2 = 1,即 QF·QD·M P2= PC·PE·MQ2. ②

又由割线定理知PC·PE = PA·PB = ( x - a) ( x + a) = x2- a2,QF·QD = QB·QA = ( y - a) ( y + a) = y2- a2.代入 ②式, 得 ( y2- a2) x2= ( x2- a2) y2. 即 a2x2= a2y2.

由于 a ≠0, x, y > 0,所以 x = y .即 PM = QM.

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（二）猜想 2 在蝴蝶定理中, 显然 OM是 AB的垂线 (O是圆心) , 那么, 我们可以猜想,如果在保持 OM ⊥AB的前提下将圆 O的弦 AB移至圆外, 仍可能会有 PM =QM .

推论 2 已知直线 AB与 ⊙O相离. OM ⊥AB, M 为垂足. 过 M作 ⊙O任意两条割线 MC, M E分别交 ⊙O于 C, D和 E, F. 连结DE,FC并延长分别交 AB 于 P, Q. 求证: PM = QM. 证明：过 F作 FK∥AB, 交直线 OM于 N,交 ⊙O于 K .

连结 M K交 ⊙O于 G. 连结 GQ, GC. 由于 ON ⊥FK,故有 FN = KN,从而M F =M K(因为M在 FK的垂直平分线上) .

又由割线定理知M E·M F = MG·M K .因此 M E = MG. ③ 又由 ∠FMN = ∠KMN, OM ⊥AB,知∠EM P = ∠GMQ. ④

从 ∠CQM = ∠CFK = ∠CGK知 ∠CGM +∠CQM= 180° , 从而 G,M, Q, C四点共圆. 所以 ∠MGQ =∠MCQ.

又由于 ∠M EP = ∠DEF = ∠DCF = ∠MCQ, 知∠M EP = ∠MGQ. ⑤ 由 ③、 ④、 ⑤知 △PM E ≌△QMG.所以 PM = QM.

（三）猜想 3 既然蝴蝶定理对于双曲线是成立的, 而双曲线是两条不相交的曲线, 那么, 我们

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可以猜想,如果把两条不相交的曲线换成两条不相交的直线 (也即是两条平行线) , 仍可能会有 PM = QM .

推论 3 设点 A、 B分别在两条平行线 l 1、 l 2上,过AB的中点M任意作两条直线 CD和 EF分别交 l 1、 l 2于C、 D和 E、 F, 连结 ED、 CF交 AB于 P、 Q. 求证: PM =QM. 证明：由于 l 1 ∥ l 2 ,M 平分AB, 从而利用 △MAC≌△MBD知M平分 CD, 利用 △MAE≌△MBF知 M平分 EF.

在四边形 CEDF中, 由对角线相互平分知 CEDF是平行四边形,从而 DE ∥CF. 又由于 M平分 EF,故利用 △M EP ≌△M FQ知 PM = QM。

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