微分方程复习

?p(x)dx?p(x)dx?p(x)dxdx y?Ce??e?q(x)e?上式右端第一项是对应的齐次线性方程的通解，第二项是非齐次方程的一个特解（在通解式①中取C?0便得到这个特解）.由此可知，一阶线性非齐次方程的通解等于对应的齐次方

程的通解与非齐次方程的一个特解之和. 练 求下列方程的特解. （1）(y?x?y)dx?xdy?0,y(1)?0

22（2）y??4x?xy22y?xy,y(0)?1

（3）x2dy?(2xy?x?1)dx?0，y(1)?0 （4）x3y??(2?3x2)y?0,y(1)?1

2. 可降阶的高阶微分方程

例 求下列微分方程的通解.

（1）y???xex （2）yy???(y?)2?0 （3）(1?x2)y???2xy?,y(0)?0,y?(0)?3 （4）y???(y?)3?y?

析 这些都是可降价的二阶微分方程式，可用变量代换的方法将它们化为一阶微分方程来求解.

解 （1）方程右端不显含y,y?，只把y?作为新未知函数，则方程就是关于y?的一阶微分方程，两边积分，得

y???xexdx?xe?e?C1

xx再积分即得通解 y??(xex?ex?C1)dx ?xe?2e?C1x?C2

（2）方程不显含x，作代换p?y?，于是

dpdxdpdydydxdpdyxxy??????p

代入原方程，得 ypdpdy?p?0

2如果p?0，那么约去p并分离变量，得

dpp

5

?dyy

两端积分并化简，得p?C1y，即 y??C1y 分离变量并积分，得 lny?C1x?lnC2 于是有 y?C2eCx

1如果p?0，那么从y??p中可得y?C，显然它也是原方程的解，但y?C已被包含在解

y?C2ec1x

中了（仅C1?0，就得到它），所以原方程通解为

y?C2eC1x

（3）方程不显得y,设y??p，则y???p?代入方程并分离变量后，有

dpp2x1?x2?dx

两端积分，得lnp?ln(1?x2)?lnC1，即

p?y??C1(1?x)

2由条件y?(0)?3，得C1?3，所以

y??3(1?x)

2再积分，得 y?x?3x?C2 由条件y(0)?1，得C1?1

于是所求的特解为 y?x?3x?1

（4）方程仅含y?，不显含y与x，设p?y?，则y???pdpdy33，代入原方程，得

pdpdy?p?p

3当p?0时，约去p并分离变量，得

dpp?12?dy

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积分得 arctanP?y?C,P?tan(y?C) 将p?y?代入并分离变量得

dytan(y?C)dx

积分得lnsin(y?C)?x?lnC2即

sin(y?C)?C2e

x于是原方程的通解为

y?arcsin(C2e)?C1(C1??C)

x此题是中，若y??表示为p?，即y???p?，那么代入原方程后也得到一个可分离变量方程. p??p3?p 分离变量并积分得

dpp(p?1)1222?dx

?ln(1?1p12)?x?C

即 p?1Ce?2xCe?2x?1

edxC?e2xx故 y??dx??1x?

?arcsin(C1e)?C2（其中C1?两个计算结果是一致的. 小结

1C）

从上面例子看出，方程（1）y???f(x)直接积分两次就可得到通解，而方程（2）和（3）则必须作代换后通过降价才能求通解，值得注意的是，对方程（2）和（3）所作的代换是相同的，即均为y??p，但y??的表达式却是不同的，要根据方程中是含有x还是含有y而将

dpdyy??分别表示成y???p?（方程（3）情形，含x不含y）或y???py不含x）.

（方程（2）情形，含

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3. 二阶线性微分方程

例1. 求下列微分方程的通解：

（1）y???4y??13y?0 （2）y???5y??6y?0

析 这两个是二阶常系数线性齐次方程，写出特征方程，求出特征根，根据特征根的不同情况，定出它们的通解.

解 （1）所给微分方程的特征方程是

??4??13?0

特征根???2?3i，为一对共轭复根，因此所求通解为

y?e?2x2(C1cos3x?C2sin3x)

（2）所给方程的特征方程是

??5??6?0

特征根?1??6，?1?1是两个不相等的实根，因此所求通解为

y?C1e6x2?C2e

x练1. 求初值问题

?4y???4y??y?0 ??y(0)?1,y?(0)?0的解.

解 所给微分方程的特征方程为

4??4??1?0

2特征根?1,2??12是两个相等的实根，因此所求方程的通解为：

y?(C1?C2x)e?12x

，因此初值问题的解为

将初始条件y(0)?1,y?(0)?0代入，求得C1?1,C2?12?12x12y?(1?x)e

例2. 求下列微分方程的通解

（1）2y???5y??5x （2）y???6y??9y?(x?1)e223x

析 这是二阶常系数线性非齐次方程，求通解y时，应先求出对应齐次方程的通解y，再根据右端函数的形式及特征根的情况，设出非齐次的方程的特解y，则y?y就是所求通解.

解 （1）先求齐次方程2y???5y??0的通解y，特征方程为2??5??0，特征根

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2??