第六章 高数习题详细解答

第六章 空解析几何与向量代数习题参考解答

习 题 6—1

1、在平行四边形ABCD中? 设AB?a? AD?b? 试用a和b表示向量MA、MB、MC、MD? 其中M是平行四边形对角线的交点?

解： 由于平行四边形的对角线互相平分? 所以

a?b?AC?2AM? 即 ?(a?b)?2MA? 于是 MA??1(a?b)?

2因为MC??MA? 所以

?????????????????????????????????????????????MC?1(a?b)? 又因?a?b?BD?2MD? 所以MD?1(b?a)?

22????????????由于MB??MD? 所以MB?1(a?b)?

2

2、若四边形的对角线互相平分，用向量方法证明它是平行四边形.

证： ?AM?MC,BM?MD，?AD?AM?MD?MC?BM?BC

AD与 BC平行且相等,

结论得证.

3、 求起点为A(1,2,1)，终点为B(?19,?18,1)的向量AB与?AB的坐标表达式.

??1??解：AB=(?19?1)i?(?18?2)j?(1?1)k??20i?20j={?20,?20,0}, ?AB={10,10,0}

24、 求平行于a={1，1，1}的单位向量.

??1??2解：与a平行的单位向量为?a1?1,1,1?. ??a3

5、在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？A(1,?1,1), B(1,1,?1),C(1,?1,?1), D(?1,?1,1). 解： A:Ⅳ; B:Ⅴ; C:Ⅷ; D:Ⅲ.

6、 求点M(x,y,z)与x轴，xOy平面及原点的对称点坐标.

解：M(x,y,z)关于x轴的对称点为M1(x,?y,?z)，关于xOy平面的对称点为M2(x,y,?z)，关于原点的对称点为M3(?x,?y,?z).

7、已知点A(a, b, c), 求它在各坐标平面上及各坐标轴上的垂足的坐标（即投影点的坐标）. 解：分别为(a,b,0),(0,b,c),(a,0,c),(a,0,0),(0,b,0),(0,0,c).

8、过点P(a,b,c)分别作平行于z轴的直线和平行于xOy面的平面，问它们上面的点的坐标各有什么特点？ 解：平行于z轴的直线上面的点的坐标：x?a,y?b,z?R；平行于xOy面的平面上的点的坐标为

1

第六章 空解析几何与向量代数习题参考解答

z?c,x,y?R.

9、求点P(2,-5,4)到原点、各坐标轴和各坐标面的距离.

解：到原点的距离为35，到x轴的距离为41，到y轴的距离为25,到z轴的距离为29.

10、 求证以M1(4,3,1)、M2(7,1,2)、M3(5,2,3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形. 解：M1M2?(7?4)2?(1?3)2?(2?1)2?14,M2M3?(5?7)2?(2?1)2?(3?2)2?6

22M1M3?(4?5)2?(3?2)2?(1?3)2?6，即M1M3?M2M3，因此结论成立.

11、 在yoz坐标面上，求与三个点A(3, 1, 2), B(4, -2, -2), C(0, 5, 1)等距离的点的坐标. 解：设yoz坐标面所求点为M(0,y,z)，依题意有|MA|?|MB|?|MC|，从而

2(0?3)2?(y?1)2?(z?2)2?(0?4)2?(y?2)2?(z?2)2 (0?3)2?(y?1)2?(z?2)2?(0?0)2?(y?5)2?(z?1)2，

联立解得y?1,z??2，故所求点的坐标为(0,1,?2).

12、 z轴上，求与点A(-4, 1, 7), 点B(3, 5,-2)等距离的点. 解：设所求z轴上的点为(0,0,z)，依题意：

(0?4)2?(0?1)2?(z?7)2?(0?3)2?(0?5)2?(z?2)2，

两边平方得z?

13、 求?使向量a?{?,1,5}与向量b?{2,10,50}平行. 解：由a//b得

1414，故所求点为(0,0,). 99?2?151

?得??. 10505

14、 求与y轴反向，模为10的向量a的坐标表达式. 解：a =10?(?j)??10j={0,?10,0}.

15、求与向量a={1，5，6}平行，模为10的向量b的坐标表达式. 解：a?

2

0a110?1,5,6?. ?{1,5,6},故 b??10a0??a6262第六章 空解析几何与向量代数习题参考解答

16、 已知向量a?6i?4j?10k，b?3i?4j?9k，试求： （1）a?2b； （2）3a?2b．

解：（1） a?2b?6i?4j?10k?2(3i?4j?9k)?12i?4j?8k; （2）3a?2b=3(6i?4j?10k)?2(3i?4j?9k)=12i?20j?48k.

????17、已知两点A(2,2,5)和B(3,0,4)，求向量AB的模、方向余弦和方向角．

????????121,cos???,从而 解： 因为AB?(1,?2,?1), 所以AB?2,cos??,cos???222??

π3π2π,??,??. 34318、设向量的方向角为?、?、?．若已知其中的两个角为??π2π，??．求第三个角?． 33π2π1π3π2解： ??,??,由cos2??cos2??cos2??1得cos??.故??或.

33244

????????19、 已知三点A?(1,0,0)，B(3,1,1)，C(2,0,1)，求：（1）BC与CA及其模；

????????（2）BC的方向余弦、方向角；（3）与BC同向的单位向量.

????????解：（1）由题意知BC??2?3,0?1,1?1????1,?1,0?,CA??1?2,0?0,0?1????1,0,?1?,

????故 BC?2,????CA?2. ????（2）因为BC???1,?1,0?,所以，由向量的方向余弦的坐标表示式得：

cos???3??11,??. ,cos???,cos??0，方向角为：????4222????????BC?11?o,?,0?. （3）与BC同向的单位向量为：a????????2?BC?2

20、 设m?i?2j?3k,n?2i?j?3k,和p?3i?4j?k,求向量a?2m?3n?p在x轴上的投影和在y轴上的分向量.

解：a?2(i?2j?3k)?3(2i?j?3k)?(3i?4j?k)?5i?11j?4k.故向量a在x 轴上的投影ax?5，在y轴上的投影分量为ay?11j.

21、一向量的终点为点B(-2,1,-4),它在x轴，y轴和z轴上的投影依次为3，-3和8，求这向量起点A的坐标.

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第六章 空解析几何与向量代数习题参考解答

解：设点A为（x, y, z）,依题意有：?2?x?3,1?y??3,?4?z?8， 故x??5,y?4,z??12，即所求的点A（-5， 4，-12）.

22、 已知向量a的两个方向余弦为cos?=

23 ,cos?=, 且a与z轴的方向角是钝角.求cos?. 7762232366解：因cos2??cos2??cos2??1,故cos2??1?所以cos???. （）—（）?，cos???，又?是钝角，

774977

23、设三力F1?i?2j,F2?2i?3j?4k,F3?j?k作用于同一质点，求合力的大小和方向角.

解： 合力F?F1?F2?F3?(i?2k)?(2i?3j?4k)?(j?k)?3i?2j?3k，因此，合力的大小为|F|?22,合力的方向余弦为cos??322?cos?,cos???222,因此????arccos322,??π?arccos222

习 题 6—2

1、 a??1,0,0?，b??0,1,0?，c?(0,0,1)，求a?b，a?c，b?c，及a?a，a?b，a?c，b?c. 解：依题意，a?i，b?j，c?k，故a?b?i?j?0，a?c?i?k?0，b?c?j?k?0.

a?a?i?i?0，a?b?i?j?k，a?c?i?k??j，b?c?j?k?i.

??2、 a??1,1,2?,b??2,2,1?，求a?b及a?b .a与b的夹角余弦.

ijk解：（1）a?b?1?2?1?2?2?1?6, a?b?112???3,3,0?.

221(2)cos??

axbx?ayby?azbzax2?ay2?az2bx2?by2?bz2?6. 3??π3、 已知 a?5,b?2,??a,b??，求2a?3b ??3解：2a?3b??2a?3b???2a?3b?

2?4a?12a?b?9b?76，∴ 2a?3b?22219. 1,0,1?与向量b???1,1,1?垂直. 4、 证明下列问题：1）证明向量a?? 2） 证明向量c与向量(a?c)b?(b?c)a垂直. 证：1）?a?b?1?(?1)?0?1?1?1?0,?(a,b)?4

^π，即a与b垂直. 2