怀化学院省级精品课程-高等代数教案：第六章 线性空间

课程网址： http://jpkc.hnadl.cn/Able.Acc2.Web/pl.aspx?id=1040 欢迎大家访问 第六章 线性空间 §1 集合·映射

一、集合

集合是数学中最基本的概念之一，所谓集合就是指作为整体看的一堆东西.组成集合的东西称为这个集合的元素.用

a?M

表示a是集合M的元素，读为：a属于M.用

a?M

表示a不是集合M的元素，读为：a不属于M.

所谓给出一个集合就是规定这个集合是由哪些元素组成的.因此给出一个集合的方式不外两种，一种是列举法：列举出它全部的元素，一种是描述法：给出这个集合的元素所具有的特征性质.

设M是具有某些性质的全部元素所成的集合，就可写成

?. M??a|a具有的性质不包含任何元素的集合称为空集，记作?.

如果两个集合M与N含有完全相同的元素，即a?M当且仅当a?N，那么它们就称为相等，记为M?N.

如果集合M的元素全是集合N的元素，即由a?M可以推出a?N，那么M就称为N的子集合，记为M?N或N?M.

两个集合M和N如果同时满足M?N和N?M.，则M和N相等. 设M和N是两个集合，既属于M又属于N的全体元素所成的集合称为M与N的交，记为M?N.

属于集合M或者属于集合N的全体元素所成的集合称为M与N的并，记为

M?N.

二、映射

设M和M?是两个集合，所谓集合M到集合M?的一个映射就是指一个法则，它使M中每一个元素a都有M?中一个确定的元素a?与之对应.如果映射?使元素a??M?与元素a?M对应，那么就记为

课程网址： http://jpkc.hnadl.cn/Able.Acc2.Web/pl.aspx?id=1040 欢迎大家访问 ?(a)?a?,

a?就称为a在映射?下的像，而a称为a?在映射?下的一个原像.

M到M自身的映射，有时也称为M到自身的变换.

关于M到M?的映射?应注意： 1）M与M?可以相同，也可以不同；

2）对于M中每个元素a，需要有M?中一个唯一确定的元素a?与它对应； 3）一般，M?中元素不一定都是M中元素的像； 4）M中不相同元素的像可能相同； 5）两个集合之间可以建立多个映射.

集合M到集合M?的两个映射?及?，若对M的每个元素a都有?(a)??(a)则称它们相等，记作???..

例1 M是全体整数的集合，M?是全体偶数的集合，定义

?(n)?2n,n?M,

这是M到M?的一个映射.

例2 M是数域P上全体n级矩阵的集合，定义

?1(A)?|A|,A?M.

这是M到P的一个映射.

例3 M是数域P上全体n级矩阵的集合，定义

?2(a)?aE,a?P.

E是n级单位矩阵，这是P到M的一个映射.

例4 对于f(x)?P[x],定义

?(f(x))?f?(x)

这是P[x]到自身的一个映射.

例5 设M，M?是两个非空的集合，a0是M?中一个固定的元素，定义

?(a)?a0,a?M.

这是M到M?的一个映射.

课程网址： http://jpkc.hnadl.cn/Able.Acc2.Web/pl.aspx?id=1040 欢迎大家访问 例6 设M是一个集合，定义

?(a)?a,a?M.

即?把M的每个元素都映到它自身，称为集合M的恒等映射或单位映射，记为

1M.

例7 任意一个定义在全体实数上的函数

y?f(x)

都是实数集合到自身的映射，因此函数可以认为是映射的一个特殊情形.

对于映射可以定义乘法,设?及?分别是集合M到M?，M?到M??的映射，乘积??定义为

(??)(a)??(?(a)),a?M,

即相继施行?和?的结果，??是M到M??的一个映射.

对于集合集合M到M?的任何一个映射?显然都有

1M????1M??.

映射的乘法适合结合律.设?,?,?分别是集合M到M?，M?到M??，M??到

M???的映射，映射乘法的结合律就是

(??)???(??).

设?是集合M到M?的一个映射，用

?(M)

代表M在映射?下像的全体，称为M在映射?下的像集合.显然

?(M)?M?.

如果?(M)?M?，映射?称为映上的或满射.

如果在映射?下，M中不同元素的像也一定不同，即由a1?a2一定有

?(a1)??(a2),那么映射?就称为1?1的或单射.

一个映射如果既是单射又是满射就称1?1对应或双射.

对于M到M?的双射?可以自然地定义它的逆映射，记为??1.因为?为满

课程网址： http://jpkc.hnadl.cn/Able.Acc2.Web/pl.aspx?id=1040 欢迎大家访问 射，所以M?中每个元素都有原像，又因为?是单射，所以每个元素只有一个原像，定义

??1(a?)?a,当?(a)?a?.

显然，??1是M?到M的一个双射，并且

??1??1M,???1?1M?.

不难证明，如果?,?分别是M到M?，M?到M??的双射，那么乘积??就是M到M??的一个双射.