最新精选详解2013届高三数学名校试题汇编第3期专题03导数与应用文

【精选+详解】2013届高三数学名校试题汇编（第3期）专题03 导数

与应用 文

一．基础题

1.【广东省肇庆市中小学教学质量评估2012—2013学年第一学期统一检测题】

13x?2x2?3x?2在区间[0,2]上最大值为 32【答案】?

3242【解析】f?(x)?x?4x?3?0?x?1,x?3，f(0)??2,f(1)??,f(2)??

33函数f(x)?2.【广州市2013届高三年级1月调研测试】若直线y?2x?m是曲线y?xlnx的切线，则实数m的值为 .

3.【2012-2013学年四川省成都市高新区高三（上）统一检测】已知函数y=f（x）的导数为f′（x）且

，则

= ．

二．能力题

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1.【2013年河南省开封市高考数学一模试卷（文科）】已知直线ax﹣by﹣2=0与曲线y=x在点P（1，1）处的切线互相垂直，则为（ ） A．

B．

C．

D．

3

【答案】D

3

【解析】设曲线y=x在点P（1，1）处的切线斜率为k，则k=f′（1）=3

3

因为直线ax﹣by﹣2=0与曲线y=x在点P（1，1）处的切线互相垂直 所以

2.【2012-2013学年辽宁省丹东市四校协作体高三摸底考试（零诊）】函数f（x）=lnx+ax存在与直线2x﹣y=0平行的切线，则实数a的取值范围是（ ） A． （﹣∞，2] B． （﹣∞，2） C． [0，+∞） D． （2，+∞）

3.【河南省三门峡市2013届高三第一次大练习】已知二次函数f(x)=ax2?bx?c的导数为

f?(x)，f?(0)＞0，对任意实数x都有f(x)≥0，则

A.4 B.3 C.8 D.2 【答案】D

【解析】∵f?(x)=2ax?b，∴f?(0)=b＞0，

f(1)的最小值为 ?f(0)∵对任意实数x都有f(x)≥0，∴??a?02???b?4ac?0，即4ac?b2，∴c＞0，

b22f(1)a?b?c2aca?c4=2，当且仅当a?c取等号，故选D. ∴==1?≥1?≥1?bbbbf?(0)三．拔高题

4.【北京市海淀区北师特学校2013届高三第四次月考】（本小题满分13分）

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已知函数f(x)?alnx?1,a?R. x （I）若曲线y?f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线x?2y?0垂直，求a的值； （II）求函数f(x)的单调区间；

5.[2012-2013学年河南省平顶山许昌新乡三市高三（上）第一次调研考试]已知函数f（x）x

=e+（a﹣2）x在定义域内不是单调函数． （Ⅰ）求函数f（x）的极值

（Ⅱ）对于任意的a∈（2﹣e，2）及x≥0，求证e≥1+（1﹣）x．

x

2

解：（I）∵f′（x）=e+（a﹣2），且f（x）=e+（a﹣2）x在定义域内不是单调函数 ∴a﹣2＜0

x

令f′（x）=e+（a﹣2）=0，则x=ln（2﹣a） ∵当x∈（﹣∞，ln（2﹣a））时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减； 当x∈（ln（2﹣a），+∞）时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增； ∴当x=ln（2﹣a）时，函数f（x）取极小值f（ln（2﹣a））=（2﹣a）+（a﹣2）ln（2﹣a），函数没有极大值； 证明：（II）设h（x）=e﹣1+（﹣1）x，则h′（x）=f（x）=e+（a﹣2）x 由（I）知，f（x）min=（2﹣a）+（a﹣2）ln（2﹣a）， 当a∈（2﹣e.2）．f（x）min＞0

x

故h′（x）=f（x）=e+（a﹣2）x＞0恒成立

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x

x

xx

从而有h（x）=e﹣1+（﹣1）x在R上单调递增 当x≥0时，h（x）=e﹣1+（﹣1）x≥h（0）=0 故e≥1+（1﹣）x．

6.【2012-2013学年江西省南昌市调研考试】（本小题满分13分） 已知函数f?x??lnx?x

2x

x

a?a?R? x?1?讨论f?x?的单调性； ?2?设g?x??x2?2bx?5,当

a=-2时，若对任意x1??1,e?，存在x2??1,2?，使

f?x1??g?x2?求实数b的取值范围.

7.【2012-2013学年四川省成都市高新区高三（上）统一检测】已知函数f（x）=ax+1（a＞0），

3

g（x）=x+bx．

（1）若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）在它们的交点（1，c）处有公共切线，求a，b的值； （2）当a=3，b=﹣9时，函数f（x）+g（x）在区间[k，2]上的最大值为28，求k的取值范围．

23

【解析】（1）f（x）=ax+1（a＞0），则f'（x）=2ax，k1=2a，g（x）=x+bx，则f'（x）

2

=3x+b，k2=3+b，

由（1，c）为公共切点，可得：2a=3+b ① 又f（1）=a+1，g（1）=1+b，

∴a+1=1+b，即a=b，代入①式可得：a=3，b=3．

32

（2）当a=3，b=﹣9时，设h（x）=f（x）+g（x）=x+3x﹣9x+1

2

则h′（x）=3x+6x﹣9，令h'（x）=0，解得：x1=﹣3，x2=1；

∴k≤﹣3时，函数h（x）在（﹣∞，﹣3）上单调增，在（﹣3，2]上单调减，所以在

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