高等数学讲义第二章

高等数学

二、有关函数的极值

例1、设函数f(x)在(??,??)内连续，其导函数的图形如图所示，则f(x)有 [ ] （A）一个极小值点和两个极大值点 （B）两个极小值点和一个极大值点 （C）两个极小值点和两个极大值点 （D）三个极小值点和一个极大值点

例2 设f(x)的导数在x?a处连续，又limf?(x)x?ax?a??1，则[ ]

（A）x?a是f(x)的极小值点

（B）x?a是f(x)的极大值点 （C）(a,f(a))是曲线y?f(x)的拐点

（D）x?a不是极值点，(a,f(a))也不是曲线y?f(x)的拐点

例3 设y?f(x)有二阶导数，满足xf??(x)?3x[f?(x)]2?1?e?x 求证：f?(x0)?0时，f(x0)为极小值 证：（1）x0?0情形。

?1?e?x0f?(x?x0?0,1?e?x0?0?0)?x?0??x? 故f(x0)为极小值 0?x0?0,1?e0?0?（2）x0?0情形

这时方程条件用x?0代入不行，无法得出上面的公式 ∵ f??(x)存在 ∴ f?(x)连续，linx?0f?(x)?f?(0)?0

f??(0)?limf?(x)?f?(0)x?0x?0?limf?(x)f??(x)x?0x?limx?01（用洛必达法则） ?x

?lim{1?e1?e?xx?0x?3[f?(x)]2}?limx?0x （再用洛必达法则）

?lime?xx?01?1?0

∴f(0)是极小值

三、最大（小）值的应用题（略）

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