专题4.1 立体几何-2020年全国高考数学考前复习大串讲

变式2．【2015高考新课标1】如图，，四边形ABCD为菱形，∠ABC=120°，

E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD， DF⊥平面ABCD，BE=2DF，AE⊥EC. （Ⅰ）证明：平面AEC⊥平面AFC； （Ⅱ）求直线AE与直线CF所成角的余弦值.

【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）【解析】

3 3

在直角梯形BDFE中，由BD=2，BE=2，DF=222232可得EF=，

22∴EG?FG?EF，∴EG⊥FG， ∵AC∩FG=G，∴EG⊥平面AFC， ∵EG?面AEC，∴平面AFC⊥平面AEC.

（Ⅱ）如图，以G为坐标原点，分别以GB,GC的方向为轴， y轴正方向，|GB|为单位长度，建立空间直角坐标系G-xyz，

由（Ⅰ）可得A（0，－3，0），E(1,0, 2)，F（－1,0，2）， 22） 2C（0，3，0），∴AE=（1，3，2），CF=（-1，-3，故cos?AE,CF??3AE?CF3.，所以直线AE与CF所成的角的余弦值为. ??33|AE||CF|AED,DCF分别沿DE， DF折起，

3.【原题】（必修2第79页复习参考题B组1题）如图，边长为2的正方形ABCD中， (1)点E是AB的中点，点F是BC的中点，将

使A，C两点重合与A?，求证：A?D?EF. (2) 当BE?BF?1BC时，求三棱锥A??EFD体积. 4

【原题解读】

（1）知识上：线与面垂直的判定定理、体积运算及折叠问题；

（2）思路方法上；通过平面图形的折叠，构造几何体，再提出问题。需注意图形折叠中几何性质的变与不变（隐含条件的挖掘），然后利用线面垂直的判定定理（平面外的一条直线与平面内两条相交直线垂直，则该直线垂直与此平面。即由线与线垂直推出线与面垂直）。体积计算关键是底面和高的认定。

（3）考察逻辑推理能力，空间想象能力和转化思想及运算能力。 变式

1.【2015

高考陕西】如图

1，在直角梯形

ABCD中，

AD//BC,?BAD??2,AB?BC?1AD?a，E是AD的中点，O是OC与BE的交点，2将?ABE沿BE折起到图2中?A1BE的位置，得到四棱锥A1?BCDE. (I)证明：CD?平面AOC； 1BCDE时，四棱锥A1?BCDE的体积为362，求的值. (II)当平面A1BE?平面

【答案】(I) 证明略，详见解析；(II) a?6. 【解析】(I)在图1中，因为AB?BC?1?AD?a，E是AD的中点?BAD?，所以BE?AC，22BE?平面AOC即在图2中，BE?AO 1,BE?OC， 从而1又CD//BE，所以CD?平面AOC. 1

变式2.【2014福建高考】在平行四边形ABCD中，AB?BD?CD?1，AB?BD,CD?BD.

将?ABD沿BD折起，使得平面ABD?平面BCD，如图.

（1）求证： AB?CD；

（2）若M为AD中点，求直线AD与平面MBC所成角的正弦值.

A

【答案】(1)见解析; (2)

6 3平面BCD?BD,AB?平面ABD,AB?BD,

【解析】：(1)因为ABD?平面BCD,平面ABD所以AB?平面BCD.又CD?平面BCD,所以AB?CD.

即直线AD与平面MBC所成角的正弦值为

【感受高考】

1. 【2016高考新课标1卷】如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是

6. 328?,则它的表面积是（ ） 3（A）17? （B）18? （C）20? （D）28?