高中教学案2018数学人教A版选修2-3：1.2.1 第二课时 排列的综合应用 Word版含解析

第二课时 排列的综合应用

数字排列问题 [典例] 用0,1,2,3,4,5这六个数字可以组成多少个符合下列条件的无重复的数字？ (1)六位奇数；

(2)个位数字不是5的六位数； (3)不大于4 310的四位偶数．

[解] (1)第一步，排个位，有A13种排法；

1第二步，排十万位，有A4种排法； 4第三步，排其他位，有A4种排法． 14故共有A13A4A4＝288个六位奇数．

(2)法一：(直接法)十万位数字的排法因个位上排0与不排0而有所不同，因此需分两类． 第一类，当个位排0时，有A55个；

14第二类，当个位不排0时，有A14A4A4个． 114故符合题意的六位数共有A55＋A4A4A4＝504(个)．

法二：(排除法)0在十万位和5在个位的排列都不对应符合题意的六位数，这两类排列中都含有0在十万位和5在个位的情况．

54故符合题意的六位数共有A66－2A5＋A4＝504(个)．

(3)分三种情况，具体如下：

12①当千位上排1,3时，有A12A3A4个． 2②当千位上排2时，有A12A4个．

③当千位上排4时，形如40××，42××的各有A13个；

11形如41××的有A2A3个；

形如43××的只有4 310和4 302这两个数．

1212111故共有A12A3A4＋A2A4＋2A3＋A2A3＋2＝110(个)．

[一题多变]

1．[变设问]本例中条件不变，能组成多少个被5整除的五位数？

解：个位上的数字必须是0或5．若个位上是0，则有A45个；若个位上是5，若不含0，

13

则有A44个；若含0，但0不作首位，则0的位置有A3种排法，其余各位有A4种排法，故共413有A45＋A4＋A3A4＝216(个)能被5整除的五位数．

2．[变设问]本例条件不变，若所有的六位数按从小到大的顺序组成一个数列{an}，则240 135是第几项？

解：由于是六位数，首位数字不能为0，首位数字为1有A55个数，首位数字为2，万位

54

上为0,1,3中的一个有3A44个数，所以240 135的项数是A5＋3A4＋1＝193，即240 135是数

列的第193项．

3．[变条件，变设问]用0,1,3,5,7五个数字，可以组成多少个没有重复数字且5不在十位位置上的五位数．

解：本题可分两类：第一类：0在十位位置上，这时，5不在十位位置上，所以五位数的个数为A44＝24；

第二类：0不在十位位置上，这时，由于5不能排在十位位置上，所以，十位位置上只能排1,3,7之一，有A13＝3(种)方法．

又由于0不能排在万位位置上，所以万位位置上只能排5或1,3,7被选作十位上的数字后余下的两个数字之一，有A13＝3(种)．

十位、万位上的数字选定后，其余三个数字全排列即可， 有A33＝6(种)．

根据分步乘法计数原理，第二类中所求五位数的个数为 A1A1A33·3·3＝54．

由分类加法计数原理，符合条件的五位数共有24＋54＝78(个)．

数字排列问题的解题原则、常用方法及注意事项

(1)解题原则：排列问题的本质是“元素”占“位子”问题，有限制条件的排列问题的限制条件主要表现在某元素不排在某个位子上，或某个位子不排某些元素，解决该类排列问题的方法主要是按“优先”原则，即优先排特殊元素或优先满足特殊位子，若一个位子安排的元素影响到另一个位子的元素个数时，应分类讨论．

(2)常用方法：直接法、间接法．

(3)注意事项：解决数字问题时，应注意题干中的限制条件，恰当地进行分类和分步，尤其注意特殊元素“0”的处理．

排队问题 [典例] 3名男生，4名女生，按照不同的要求排队，求不同的排队方案的方法种数． (1)全体站成一排，其中甲只能在中间或两端； (2)全体站成一排，其中甲、乙必须在两端；

(3)全体站成一排，其中甲不在最左端，乙不在最右端；

(4)全体站成两排，前排3人，后排4人，其中女生甲和女生乙排在前排，另有2名男生丙和丁因个子高要排在后排．

16

[解] (1)先考虑甲有A13种方案，再考虑其余六人全排列，故N＝A3A6＝2 160(种)．

2

(2)先安排甲、乙有A2A52种方案，再安排其余5人全排列，故N＝A2·5＝240(种)．

(3)[法一 特殊元素优先法] 按甲是否在最右端分两类：

第一类，甲在最右端有N1＝A66(种)，

1第二类，甲不在最右端时，甲有A15个位置可选，而乙也有A5个位置，而其余全排列115

A55，有N2＝A5A5A5，

115

故N＝N1＋N2＝A66＋A5A5A5＝3 720(种)．

[法二 间接法]

6无限制条件的排列数共有A77，而甲在左端或乙在右端的排法都有A6，且甲在左端且乙765

在右端的排法有A55，故N＝A7－2A6＋A5＝3 720(种)．

[法三 特殊位置优先法] 按最左端优先安排分步．

15

对于左端除甲外有A1余下六个位置全排有A6但减去乙在最右端的排法A5A56种排法，6，615

种，故N＝A16A6－A5A5＝3 720(种)．

(4)将两排连成一排后原问题转化为女生甲、乙要排在前3个位置，男生丙、丁要排在

2后4个位置，因此先排女生甲、乙有A3种方法，再排男生丙、丁有A24种方法，最后把剩余

的3名同学全排列有A33种方法．

2

故N＝A2A4·A33·3＝432(种)．

排队问题的解题策略

(1)合理归类，要将题目大致归类，常见的类型有特殊元素、特殊位置、相邻问题、不相邻问题等，再针对每一类采用相应的方法解题．

(2)恰当结合，排列问题的解决离不开两个计数原理的应用，解题过程中要恰当结合两个计数原理．

(3)正难则反，这是一个基本的数学思想，巧妙应用排除法可起到事半功倍的效果． [活学活用]

排一张有5个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单． (1)任何两个舞蹈节目不相邻的排法有多少种？ (2)歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的方法有多少种？

解：(1)先排歌唱节目有A55种，歌唱节目之间以及两端共有6个空位，从中选4个放入

5

舞蹈节目，共有A4A4 6种方法，所以任何两个舞蹈节目不相邻的排法有A5·6＝43 200种方法．

(2)先排舞蹈节目有A44种方法，在舞蹈节目之间以及两端共有5个空位，恰好供5个歌唱节目放入．所以歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的排法有A4A54·5＝2 880种方法．

层级一 学业水平达标

1．6名学生排成两排，每排3人，则不同的排法种数为( ) A．36 C．720

B．120 D．240

解析：选C 由于6人排两排，没有什么特殊要求的元素，故排法种数为A66＝720． 2．用0到9这十个数字，可以组成没有重复数字的三位数共有( ) A．900个 C．648个

B．720个 D．504个

解析：选C 由于百位数字不能是0，所以百位数字的取法有A19种，其余两位上的数

1

字取法有A2A29种，所以三位数字有A9·9＝648(个)．

3．数列{an}共有6项，其中4项为1，其余两项各不相同，则满足上述条件的数列{an}共有( )

A．30个 C．60个

B．31个 D．61个

解析：选A 在数列的6项中，只要考虑两个非1的项的位置，即可得不同数列共有A26＝30个．

4．6名同学排成一排，其中甲、乙两人必须排在一起的不同排法有( ) A．720种 C．240种

B．360种 D．120种

2

解析：选C (捆绑法)甲、乙看作一个整体，有A2种排法，再和其余4人，共5个元2

素全排列，有A5A55种排法，故共有排法A2·5＝240种．

5．(辽宁高考)6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为( ) A．144 C．72

B．120 D．24

解析：选D 剩余的3个座位共有4个空隙供3人选择就座， 因此任何两人不相邻的

3坐法种数为A4＝4×3×2＝24．

6．从班委会的5名成员中选出3名分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有________种．(用数字作答)

解析：文娱委员有3种选法，则安排学习委员、体育委员有A24＝12种方法．由分步乘法计数原理知，共有3×12＝36种选法．

答案：36

7．将红、黄、蓝、白、黑5种颜色的小球，分别放入红、黄、蓝、白、黑5种颜色的

小口袋中，若不允许空袋且红口袋中不能装入红球，则有________种不同的放法．

54

解析：(排除法)红球放入红口袋中共有A44种放法，则满足条件的放法种数为A5－A4＝

96(种)．

答案：96

8．用0,1,2,3,4这5个数字组成无重复数字的五位数，其中恰有一个偶数夹在两个奇数之间的五位数有______种．

3212解析：0夹在1,3之间有A20不夹在1,3之间又不在首位有A1所2A3种排法，2A2A2A2种排法．31212

以一共有A22A3＋A2A2A2A2＝28种排法．

答案：28

9．一场晚会有5个演唱节目和3个舞蹈节目，要求排出一个节目单． (1)3个舞蹈节目不排在开始和结尾，有多少种排法？ (2)前四个节目要有舞蹈节目，有多少种排法？

解：(1)先从5个演唱节目中选两个排在首尾两个位置有A25种排法，再将剩余的3个演

6唱节目，3个舞蹈节目排在中间6个位置上有A6故共有不同排法A2 6种排法，5A6＝14 400种．

8

(2)先不考虑排列要求，有A8种排列，其中前四个节目没有舞蹈节目的情况，可先从54

个演唱节目中选4个节目排在前四个位置，然后将剩余四个节目排列在后四个位置，有A45A444种排法，所以前四个节目要有舞蹈节目的排法有(A88－A5A4)＝37 440种．

10．从5名短跑运动员中选出4人参加4×100米接力赛，如果A不能跑第一棒，那么有多少种不同的参赛方法？

31

解：法一：当A被选上时，共有A13A4种方法，其中A3表示A从除去第一棒的其他三

棒中任选一棒；A34表示再从剩下4人中任选3人安排在其他三棒．

当A没有被选上时，其他四人都被选上且没有限制，此时有A44种方法．

34故共有A13A4＋A4＝96(种)参赛方法．

法二：接力的一、二、三、四棒相当于有四个框图，第一个框图不能填A，有4种填

3

法，其他三个框图共有A34种填法，故共有4×A4＝96(种)参赛方法．

法三：先不考虑A是否跑第一棒，共有A4其中A在第一棒时共有A35＝120(种)方法．4种

3方法，故共有A45－A4＝96(种)参赛方法．

层级二 应试能力达标

1．(四川高考)用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为( ) A．24 C．60

B．48 D．72

解析：选D 第一步，先排个位，有A13种选择； 第二步，排前4位，有A44种选择．

由分步乘法计数原理，知有A1A43·4＝72(个)．