（数学分析）第十章

第十章 定积分的应用

(14学时)

§1 平面图形的面积

教学目的要求: 能熟练的将各种形式表示的曲线所围成的图形抽象成为不定积分，并计算出它们的面积.

教学重点难点: 重点是计算由各种形式表示的曲线所围成的图形的面积.难点是参数方程和

极坐标方程表示的曲线所围成的图形的面积的计算. 学时安排: 2学时 教学过程: 一、积分?abf(x)dx的几何意义

bf(x)dx我们讲过，若f?C[a,b]且f(x)?0，则定积分?a表示由连线曲线y=f(x)，

以及直线x=a,b和x轴所围成的曲边梯形的面积。当?a积，即

5?bf(x)dx<0时，定积分表示的是负面

?baf(x)dx?表示的是

5?f在[a,b]上的正负面积代数和。例如

?20sinxdx?(?sinxdx?05?2??22sinxdx)????2?sinxdx?3?2?15?5。若计算sinx在[0，2sinxdx?3?2?5?]

上的面积，则变为?0sinxdx?(?sinxdx?0??22sinxdx)???2?。

二、f(x)，g(x)在[a,b]上所围的面积

S?由几何意义得

?baf(x)dx??g(x)dx?ab?ba[f(x)?g(x)]dx，该式当f(x)和g(x)可判

断大小的情况下适合，但f(x)和g(x)无法判断大小时，要修改为

S??ba|f(x)?g(x)|dx。

如果f(x)和g(x)有在积分区域[a,b]内交点，设为x1,x2，且x1?x2，则。所以此时求f(x)和g(x)在[a,b]上的面积，即为f(x)和g(x)所围成的面积，要先求出交点，作为它们的积分区域。

a1S??b|f(x)?|f(x?)g(x)|d??xx22x2g(x)|dx 例1、求y?x，x?y所围的面积S。 例2、求y?sinx、y?cosx在[0,2?]上

所围图形的面积。

22例3、已知y?ax?bx通过点(1,2)与y??x?2x有个交点x1?0，又a<0，求

y?ax?bx与y??x?2x所围的面积S，又问a,b为何值时，S取最小值？

22例4、求抛物线y?2x与直线x?y?4所围成的图形的面积。

例5、有一个椭圆柱形的油灌，某长度为l，底面是长轴为a，短轴为b的椭圆，问油灌中油面高为h时，油量是多少？（已知油的密度为?） 三、参数方程形式下的面积公式

2?x?x(t)?若所给的曲线方程为参数形式：?y?y(t) （??t??），其中y(x)是连续函数，?x?x(t)??x(t)是连续可微函数，且x(t)?0且x(?)?a，x(?)?b，那么由?y?y(t)，x轴及直线x

＝a，x＝b所围图形的面积S的公式为

S???|y|dx(t)。（????）

?x?a(t?sint)? 例1、求旋轮线：?y?a(1?cost)（a>0）一个拱与x轴所围的图形的面积。

?x?acost?例2、求椭圆?y?bsint（a>0，b>0）的面积S。

四、极坐标下的面积公式

设曲线的极坐标方程是：r?r(?)，?????，r(?)?C[?,?]，则由曲线r?r(?)，射线???及???所围的扇形面积S等于

22S?1?2??r(?)d?2。

例1、求双纽线r?2acos2?所围图形面积S。 例2、求由

r?sin2?3，0???3?，所决定的外层曲线和内层曲线之间的面积S。

例3、求三叶形成曲线r?asin3?（a>0）所围图形面积。

§2 由平行截面面积求体积

教学目的要求: 能熟练计算平行截面面积为已知的立体的体积和旋转体的体积. 教学重点难点: 重点是用定积分求体积. 难点把具体问题抽象成定积分. 学时安排: 2学时 教学过程:

一般体积公式：

设一几何体夹在x＝a和x＝b（a

此几何体，设载面与X轴交点为（x，0），可得的截面面积为S（x），如果S(x)是[a,b]上的V??S(x)dxa（R）可积函数，则该几何体的体积V等于：。

例1、求底面积为S，高为h的斜柱体的体积V。例2、求底面积为S，高为h的圆锥体的体积V。

x22b例3、求由椭球面a?yb22?zc22?1所围的几何体体积。(a,b,c>0)

§3平面曲线的弧长与曲率

教学目的要求: 能熟练计算平面曲线的弧长.

教学重点难点: 重点是用定积分平面曲线的弧长. 难点弧长公式的证明. 学时安排: 2学时

教学过程:

一、平面曲线的弧长

1、先建立曲线的长度（弧长）的概念

一条线段的长度可直接度量，但一条曲线段的“长度”一般却不能直接度量，因此需用不同的方法来求。

?x?x(t)?设平面曲线C由参数方程?y?y(t) （??t??）给出，设P?{t0,t1,?,tn}是[?,?]

的一个划分[t0??,tn??]，即??t0?t1???tn??，它们在曲线C上所对应的点为

M0?(x(t0),y(t0))，M1?(x(t1),y(t1))，?，Mn?(x(tn),y(tn))。从端点M0开始用线

段一次连接这些分点M0，M1，?，Mn得到曲线的一条内接折线，用Mi?1Mi来表示

Mi?1Mi的长度，则内接折线总长度为

nni?1Sn??Mi?1nMi??i?1[(x(ti)?x(ti?1)]?[(y(ti)?y(ti?1)]22

曲线C的弧长S定义为内接折线的总长在p?max?ti?0时的极限：

ni?1S?limp?0?Mi?1Mi?limp?0?i?1[(x(ti)?x(ti?1)]?[(y(ti)?y(ti?1)]22如果S存在且为有限，则称C为可求长曲线。 2、弧长公式

?x?x(t)?设曲线C：?y?y(t) （??t??），且x(t)，y(t)在[?,?]上可微且导数x?(t)，

y?(t)在[?,?]上可积，曲线C在[?,?]无自交点，则曲线C的弧长S为：

S????x?(t)?y?(t)dt?22???dx?dy22注：其它形式的弧长公式

（1）设y?y(x)在[a,b]上可微且导数y?(x)可积，则曲线y?y(x)（a≤x≤b）的弧长S为：

S??ba1?y?(x)dx

（2）若曲线极坐标方程r?r(?)，?????，则当r(?)在[?,?]上可微，且r?(?)可积时，

S????r?r?d?22

?x?x(t)??y?y(t)?z?z(t)（3）空间曲线? （??t??），弧长S为

S????x?(t)?y?(t)?z?(t)dt222

其中x(t)，y(t)，z(t)在[?,?]上可微，导数x?(t)，y?(t)，z?(t)在[?,?]上可积且曲线C在 [?,?]上无自交点。

例1、求圆周x?Rcost，y?Rsint，0?t?2?的弧长S。 例2、求抛物线弧长S。 3、弧长的微分

?x?x(t)?2y?y(t)???x??t??x(t)y(t)?,??设C： （）是光滑曲线（，在[]连续且(t)＋

y?12x2x22，0?x?1的弧长S。例3、求椭圆a?yb22?1（b>a>0）的

y?(t)?0）；且无自交点。若把公式中的积分上限?改为t，就得到曲线C，由端点M0到

2动点M(x(t),y(t))的一段弧长。

S???tx?(t)?y?(t)dt222 2dS(t)由上限函数的可微性知S?(t)存在，dt二、曲率

1、平面曲线的曲率

??dx??dy???????dS??dt??dt?dx?dy22

曲线的弯曲程度不仅与其切线方形的变化角度??的大小有关，而且还与所考察的曲线

的弧长?S有关，并且曲率与??成正比，与?S成反比。即一般曲线的弯曲程度可用

k????S，其中k：曲线段?AB的平均变化率；??：曲线段?AB上切线方向的角度；?S：

AB的弧长。 曲线段??S?S???RR。 例 半径为R的圆：

对于一般的曲线，如何刻画它在一点处的弯曲程度呢？ k?lim???S，称为曲线在A点的曲率，即

k??????????1k?d?dS?lim???S

?s?0?s?02、曲率的计算

记y?y(x)二阶可微，则在点x处的曲率为：

d?因为tg??y?，??arctgy?，所以dxdS?k?122?y??1?y?2?d??y??1?y?2dx，又因为

1?y?dx所以 d?dS?y???1?y?2?3/2

例1、求

y?x2在任一点的曲率。

3、曲率圆和曲率半径

过点（x，y(x)）且与y＝y（x）在该点有相同的一阶及二阶导数的圆

(x?a)?(y?b)?R称为曲率圆。曲率圆的中心和半径分别称为曲率中心和曲率半径。

222如何求曲线上一点（x，y(x)）处的曲率圆呢？

R?1k，

k?y??因为

?1?y??23/2，则（a,b）在过（x，y(x)）的法线上：

Y?y(x)??1y?(x)12x2(X?x)。

在点（0,0）的曲率圆方程？

例 求

y?§4旋转曲面的面积

教学目的要求: 能熟练掌握微元法,会用微元法计算曲面的面积.

教学重点难点: 重点是微元法、用微元法将实际问题抽象成定积分. 难点微元法的应用. 学时安排: 2学时

教学过程:

设y＝y(x)于[a,b]上非负，且连续可微，该曲线绕x轴旋转后所得的旋转面的侧面积：

S?2??y1?y?dxab2例、求半径为r的球面面积S。