注册岩土空间解析几何与向量代数.

注册岩土工程师考试 高等数学

第一节 空间解析几何与向量代数

一、向量代数

1、向量的有关概念：向量间的夹角、向量的方向角、方向余弦、向量在数轴上的投影 向量的坐标 a?ax,ay,az?axi?ayj?azk 在相应坐标轴上的投影

模长：a??22ax?ay?az2

??方向余弦：cos??ax|a|??axa?a?a2x2y2z，

cos??ay|a|??aya?a?aaza?a?a2x2y2z2x2y2z

cos??0az|a|??

单位向量 a??cos?,cos?,cos?? 2、向量的运算：

（1）向量的加法：向量加法的平行四边形法则与向量加法的三角形法则。 （2）向量的减法：向量a与—b的和称为a与b的差，记作a?b。

（3）数与向量乘法：实数?与向量a的乘积?a是一个平行于a的向量，它的模是向量a的模的

?倍，即?a??a，并规定，当??0时，?a与a的方向相同，当??0时，?a与a的方向相反，当??0时，?a为零向量。 3．向量的加法，数与向量的的乘法有以下运算性质：

（1） 交换律 a+b=b+a

（2） 结合律 （a+b）+c=a+（b+c）

?(?a)?(??)a(?,?是数）；

（3） 分配律 （???） a??a??a(?,?是数）； ? （a?b）??a??(b是数）?

第 1 页 共 8 页

注册岩土工程师考试 高等数学

?? ----------向量的数量积a?b（内积）

平面向量数量积（内积）的定义，a?b = |a||b|cosθ 并规定0与任何向量的数量积为0。

??

a?b?abcos??axbx?ayby?azbz

?? 几何意义: 数量积a?b等于a的长度与b在a方向上投影|b|cosθ的乘积。

性质：（1）a?a?a?a????????2?22ax?ay?az2

（2）a?b?0?a?b?axbx?ayby?azbz?0

----------向量的向量积（外积、叉积）

两向量a和b的向量积是一个向量c，记为c?a?b。c由下列条件确定： （1）

c?a?b?absin(a,b)，(,a)b??）（0?。

（2）c?a且c?b。

（3）a、b、c的方向服从右手法则：即平移a、b、c使其有共同的始点，当右手的四个手指从a以不超过?的角度转向b握拳时，大拇指所指方向就是c的方向。

向量积又称为叉积或外积，向量积的模的几何意义是：它的数值是以a、b为邻边的平行四边形的面积。

向量的向量积满足下列运算规律 （1）a?b??b?a

（2）(?a)?b=?(a?b)=a?(?b)（为实数） （3） a?(b?c)?a?b?a?c (b?c)?a?b?a?c?a

ia?b?(axi?ayj?azk) ?(bxi?byj?bzk)=axbxay?by

jaybykazbzazai?xbzbxaxazj?bxbzaykby

第 2 页 共 8 页

注册岩土工程师考试 高等数学 ----------两向量间的关系

设a??a1,a2,a3?,b??b1,b2,b3? 关系 向量表示 向量坐标表示 a,b间夹角??? a?b cos??aba?b?0 cos??a1b1?a2b2?a3b3222a12?a2?a3?b12?b2?b32 a与b垂直 a与b平行

a1b1?a2b2?b3b3?0 a1a2a3 ??b1b2b3a?b?0 二、空间解析几何

(一)．空间解析几何

1．空间解析几何研究的基本问题

（1）已知曲面（线）作为点的几何轨迹，建立这曲面（线）的方程。 （2）已知坐标x,y和z间的一个方程（组），研究这方程（组）所表示的曲面（线）。 2．距离公式 空间两点A?x1,y1,z1?与B?x2,y2,z2?间的距离d为 d??x2?x1?2??y2?y1?2??z2?z1?2

AM??，点A,B的坐标为A?x1,y1,z1?，MB 3．定比分点公式 M?x,y,z?是AB的分点：B?x2,y2,z2?则

x?x1?? x2y?? y2z?? z2,y?1,z?1

1??1??1?? 当M为中点时， x?

x1?x2y?y2z?z2,y?1,z?1 222第 3 页 共 8 页

注册岩土工程师考试 高等数学 (二)．平面及其方程

1．法（线）向量，法（线）方向数。

与平面?垂直的非零向量，称为平面?的法向量，通常记成n。法向量?m,n,p?的坐标称为法（线）方向数。对于给定的平面?，它的法向量有无穷多个，但它所指的方向只有两个。

2．点法式方程 已知平面?过M?x0,y0,z0?点，其法向量n??A,B,C?，则平面?的方程为

A?x?x0??B?y?y0??C?z?z0??0 或n??r?r0??0 其中r0??x0,y0,z0?,r??x,y,z? 3．一般式方程 Ax?By?Cz?D?0

其中A,B,C不全为零。x,y,z前的系数表示?的法线方向数，n??A,B,C?是?的法向量。

特别情形：

Ax?By?Cz?0，表示通过原点的平面。 Ax?By?D?0，平行于z轴的平面。 Ax?D?0，平行yOz平面的平面。 x?0表示yOz平面。 6．有关平面的问题 两平面为：

?1:A1x?B1y?C1z?D1?0 ?2:A2x?B2y?C2z?D2?0

cos??A1A2?B1B2?C1C2A?B?C?A?B?C212121222222?1与?2间 夹角??? 垂直条件 A1A2?B1B2?C1C2?0 平行条件 A1B1C1?D1??????? A2B2C2?D2??A1B1C1D1 ???A2B2C2D2第 4 页 共 8 页

重合条件