(广东专用试题)2019高考数学二轮复习 每日一题规范练(第三周)理

每日一题 规范练(第三周)

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[题目1] (本小题满分12分)已知各项均为正数的等比数列{an}，满足a1＝1，且－2＝. a1a2

a3

(1)求等比数列{an}的通项公式；

(2)若数列{bn}满足bn＝log2an＋1，求数列??的前n项和为Tn.

?an??bn?

112

解：(1)由已知－＝，

a1a2a3

112得－＝2，

a1a1qa1qqq12即1－＝2，

解得q＝2或q＝－1(舍去)， 因此数列{an}的通项公式an＝2

n－1

.

(2)由题意得bn＝log2an＋1＝log22＝n，

nbnn＝， an2n－1

123n所以Tn＝0＋1＋2＋…＋n－1，①

22221123nTn＝1＋2＋3＋…＋n，② 22222

1

1－n2n1111nn＋2

由①－②，得Tn＝1＋＋2＋…＋n－1－n＝－n＝2－n，

22222122

1－2所以Tn＝4－

n＋2

2

n－1

. [题目2] (本小题满分12分)如图，△ABC为正三角形，AC∥DB，AC＝2，cos ∠ACD＝6. 3

(1)求CD的长；

1

(2)求△ABD的面积．

解：(1)因为△ABC为正三角形，AC∥DB， π

所以∠ACD＝∠BDC，∠BAC＝∠ABD＝，

3所以cos ∠ACD＝cos ∠BDC＝

6， 3

所以sin ∠BDC＝

3?6?2

1－??＝.

3?3?

2π

在△BCD中，BC＝2，∠CBD＝，

3sin ∠BDC＝

3， 3

2

＝，所以CD＝3.

2π3

sin

33

由正弦定理得，

CD2π

(2)在△BCD中，BC＝2，CD＝3，∠CBD＝，

3由余弦定理，CD＝BD＋BC－2BD·BC·cos ∠CBD，

2

2

2

?1?222

则3＝2＋BD－4BD×?－?，解得BD＝6－1.

?2?

1π1332－3

所以△ABD的面积为S＝BD·AB·sin ＝×(6－1)×2×＝. 23222 [题目3] (本小题满分12分)如图，在三棱柱ABC-DEF中，AE与BD相交于点O，C在平面ABED内的射影为O，G为CF的中点．

(1)求证：平面ABED⊥平面GED；

(2)若AB＝BD＝BE＝EF＝2，求二面角A-CE-B的余弦值． 1

(1)证明：取DE中点M，在三角形BDE中，OM∥BE，OM＝BE.

2

1

又因为G为CF中点，所以CG∥BE，CG＝BE.

2

2

所以CG∥OM，CG＝OM.

所以四边形OMGC为平行四边形． 所以MG∥OC.

因为点C在平面ABED内的射影为O， 所以OC⊥平面ABED，从而MG⊥平面ABED. 又因为GM?平面GED， 所以平面ABED⊥平面GED.

(2)解：因为CO⊥平面ABED，所以CO⊥AO，

CO⊥OB.

又AB＝BE，则四边形ABED为菱形， 所以OB⊥AO.

→→→

以O为坐标原点，OA，OB，OC的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz，

于是A(3，0，0)，B(0，1，0)，E(－3，0，0)，C(0，0，3)， →→

向量BE＝(－3，－1，0)，向量BC＝(0，－1，3)， 设平面BCE的一个法向量为m＝(x1，y1，z1)， →

m·BE＝0，?－3x1－y1＝0，则，即?

→?－y1＋3z1＝0，m·BC＝0，

?????

不妨令z1＝1，则y1＝3，x1＝－1，取法向量m＝(－1，3，1)． 又n＝(0，1，0)为平面ACE的一个法向量． 设二面角A-CE-B大小为θ，显然θ为锐角， |m·n|315于是cos θ＝|cos〈m，n〉|＝＝＝，

|m|·|n|55故二面角A-CE-B的余弦值为

15. 5

[题目4] (本小题满分12分)国家文明城市评审委员会对甲、乙两个城市是否能入围“国家文明城市”进行走访调查，派出10人的调查组，先后到甲、乙两个城市的街道、社区进行问卷调查，然后打分(满分100分)，他们给出甲、乙两个城市分数的茎叶图如图所示：

3

(1)请你用统计学的知识分析哪个城市更应该入围“国家文明城市”，请说明理由； (2)从甲、乙两个城市的打分中各抽取2个，在已知大于80分的条件下，求抽到乙城市的分数都小于80的概率；

(3)从对乙城市的打分中任取2个，设这2个分数中不小于80分的个数为X，求X的分布列和期望．(参考数据：16＋14＋12＋5＋3＋7＋8＋16＋19)＝1 360，14＋11＋3＋2＋1＋2＋3＋6＋7＋13＝598)

－－

解：(1)由茎叶图，设甲、乙两班10名同学成绩的平均数分别为x甲，x乙， 63＋65＋67＋74＋76＋79＋86＋87＋95＋98

则x甲＝＝79.

10－－

2

2

2

2

2

2

22

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

x乙＝

65＋68＋76＋77＋78＋81＋82＋85＋86＋92

＝79.

10

2222222222

S2(16＋14＋12＋5＋3＋0＋7＋8＋16＋19)＝136. 甲＝

1

10110

2222222222

S2(14＋11＋3＋2＋1＋2＋3＋6＋7＋13)＝59.8. 乙＝

－－

22

因此x甲＝x乙，S甲＞S乙.

上面统计数据表明甲、乙两个城市打分的平均分相同，甲城市打分的方差比乙城市的大，说明评委对乙城市的打分较一致，乙城市应该入围．

(2)由茎叶图可得，分数在80分以上的甲城市有4个，乙城市有5个．设事件A＝“甲、乙两个城市的打分中，各抽取2个，有大于80分的分数”，事件B＝“甲、乙两个城市的打分中，各抽取2个，乙城市的分数都小于80分”，则P(B|A)＝

P（A·B）

，

P（A）

?C4＋2C4C6?×C5＝4，

因为P(A·B)＝??27?C10?C210

－22

C6·C525

P(A)＝1－P(A)＝1－2. 2＝

C10·C1027所以P(B|A)＝

2112

P（A·B）4

＝.

P（A）25

(3)由题可知X取值为0，1，2.

4