高中数学人教a版高二选修4-4第一章坐标系学业分层测评1有答案

学业分层测评(一)

(建议用时：45分钟)

[学业达标]

一、选择题

1．动点P到直线x＋y－4＝0的距离等于它到点M(2,2)的距离，则点P的轨迹是( ) A．直线 C．双曲线

B．椭圆 D．抛物线

【解析】 ∵M(2,2)在直线x＋y－4＝0上，

∴点P的轨迹是过M与直线x＋y－4＝0垂直的直线． 【答案】 A

2．已知线段BC长为8，点A到B，C两点距离之和为10，则动点A的轨迹为( ) A．直线 C．椭圆

B．圆 D．双曲线

【解析】 由椭圆的定义可知，动点A的轨迹为一椭圆． 【答案】 C

3．若△ABC三个顶点的坐标分别是A(1,2)，B(2,3)，C(3,1)，则△ABC的形状为( ) A．等腰三角形 C．直角三角形 【解析】 |AB|＝|BC|＝|AC|＝B．等边三角形 D．钝角三角形

?2－1?2＋?3－2?2＝2，

?3－2?2＋?1－3?2＝5， ?3－1?2＋?1－2?2＝5，

|BC|＝|AC|≠|AB|，△ABC为等腰三角形． 【答案】 A

4．已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所围成的图形的面积等于( )

A．π C．8π

B．4π D．9π

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【解析】 设P点的坐标为(x，y)， ∵|PA|＝2|PB|，

∴(x＋2)2＋y2＝4[(x－1)2＋y2]， 即(x－2)2＋y2＝4.

故P点的轨迹是以(2,0)为圆心，以2为半径的圆，它的面积为4π. 【答案】 B

?x′＝2x，1

5．在同一平面直角坐标系中，将曲线y＝3cos 2x按伸缩变换?后为( )

?y′＝3y，A．y′＝cos x′ 1

C．y′＝2cos3x′ ??x′＝2x，

【解析】 由?

??y′＝3y，

1

B．y′＝3cos2x′ 1

D．y′＝2cos 3x′

x′?x＝?2，得?y′

y＝??3.

y′11

代入y＝3cos 2x，得3＝3cos x′， ∴y′＝cos x′. 【答案】 A 二、填空题

x

x′＝??2 017，6．若点P(－2 016,2 017)经过伸缩变换?y

y′＝??2 016＝________.

x

x′＝??2 017，

∵P(－2 016,2 017)经过伸缩变换?y

y′＝??2 016，

后的点在曲线x′y′＝k上，则k

【解析】

－2 016??x′＝2 017，得?

2 017

??y′＝2 016，

代入x′y′＝k，

- 2 -

得k＝－1. 【答案】 －1

7．将点P(2,3)变换为点P′(1,1)的一个伸缩变换公式为________.

【导学号：91060002】

??x′＝hx?h＞0?，

【解析】 设伸缩变换为?

??y′＝ky?k＞0?，??1＝2h，

由???1＝3k，

1

h＝??2，解得?1

k＝??3，

x

x′＝??2，∴?y

y′＝??3.

【答案】

x

??x′＝2

?yy′＝??3

8．平面直角坐标系中，在伸缩变换φ：

?x′＝λx?λ>0，λ≠1?，

?作用下仍是其本身的点为________． ?y′＝μy?μ>0，μ≠1?，

??x′＝λx?λ>0?，

【解析】 设P(x，y)在伸缩变换φ：?作用下得到P′(λx，μy)．

??y′＝μy?μ>0???x＝λx，

依题意得?其中λ>0，μ>0，λ≠1，μ≠1，

??y＝μy，∴x＝y＝0，即P(0,0)为所求． 【答案】 (0,0) 三、解答题

x

x′＝??3，9．在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换?y

y′＝??2(1)x2－y2＝1； x2y2

(2)9＋8＝1.

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后的图形．

【解】

xx′＝??3，

由伸缩变换?y

y′＝??2，

??x＝3x′，

得?① ??y＝2y′.

(1)将①代入x2－y2＝1得9x′2－4y′2＝1， x

x′＝??3，

因此，经过伸缩变换?y

y′＝??2图甲所示．

x

??x′＝3，

后，双曲线x2－y2＝1变成双曲线9x′2－4y′2＝1，如

2

x2y22y′(2)将①代入9＋8＝1得x′＋2＝1，因此，经过伸缩变换?y

y′＝??2

x2y2

后，椭圆9＋8

y′2

＝1变成椭圆x′＋2＝1，如图乙所示．

2

10．台风中心从A地以20 km/h的速度向东北方向移动，离台风中心30 km内的地区为危险区，城市B在A地正东40 km处．求城市B处于危险区内的时间．

【解】 以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，则B(40,0)， 以点B为圆心，30为半径的圆的方程为(x－40)2＋y2＝302，

台风中心移动到圆B内时，城市B处于危险区．台风中心移动的轨迹为直线y＝x，与圆B相交于点M，N，

点B到直线y＝x的距离d＝求得|MN|＝240

＝202. 2

|MN|

302－d2＝20(km)，故20＝1，

所以城市B处于危险区的时间为1 h.

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