上海市闸北区2009届高三第二次模拟考试（数学理）

上海市闸北区2009届高三第二次模拟考试卷

数学（理科）

审核：丁宏梅 校对：于鹏弟 （考试时间：120分钟 满分：150分）

一．填空题 (本大题满分50分）本大题共有10题，只要求直接填 写结果，

每题填对得5分，否则一律得零分. 1．函数y? 得分 评卷人 log0.5x的定义域为___________. 1，则tan2?的值为 ． 22．若cot????3．增广矩阵为? ?　　　　?的线性方程组的解用向量的坐标形式可表示为 ．

18?4．若(2x?1)展开式的第9项的值为12，则lim(x?x???x)= ．

n??9?1?3?25?2n5．已知向量a和b的夹角为120?，|a|?2，且(2a?b)?a，则|b|?________． 6．在极坐标系中，定点A(3,?2)，点B在曲线??2cos?上运动，当线段AB最短时，

点B的极坐标是 ．

x2y2??1的渐近线相切，且圆心在双曲线 7．设圆C与双曲线

916的右焦点，则圆C的标准方程为 . 8．方程|sin ?x2|?x?1的实数解的个数为 ．

9．如图1是一个跨度和高都为2米的半椭圆形拱门，则能通过该拱门

的正方形玻璃板（厚度不计）的面积范围用开区间表示是__________． 图1 10．设a,b?R，且a?ab?b?a?b，则a?b的取值范围为 ． 得分 评卷人 二．选择题（本大题满分15分）本大题共有3题，每题都给出代号

为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，

必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得5分，不选、

选错一律得零分．

22

z2?2z?……………………………………………………11．已知复数z?1?i，则

z?1（ ）

A．2i

B．?2i C．2

D．?2

12．过点A(1,?2)，且与向量m?(4,?3)平行的直线的方程是…………………………( ) A．4x?3y?10?0 D．3x?4y?5?0

B．4x?3y?10?0 C．3x?4y?5?0

c分别是?A、13．在?A设a、且满足条件c?2,b?2a，BC中，?C所对的边长，b、?B、

则?ABC面积的最大值为………………………………………………………………… ( ) A．1

B．

3 2 C．

4 3 D．2

三．解答题 (本大题满分85分)本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤.

得分 评卷人 14．（本小题满分14分）

如图2，在四棱锥O?ABCD中，底面ABCD是边长为2的

正方形，OA?底面ABCD，OA?2，M为OA的中点．

（Ⅰ）求异面直线OC与MD所成角的大小；

O（Ⅱ）求点M到平面OCD的距离．

M

D A

BC 得分 评卷人 15．（本小题满分15分）

一种填数字彩票2元一张，购买者在卡上依次填上0~9中的两个

数字（允许重复）．中奖规则如下：

如果购买者所填的两个数字依次与开奖的两个有序数字分别对应相等，则中一等奖10元；

如果购买者所填的两个数字中，只有第二个数字与开奖的第二个数字相等，则中二等奖2元；

其他情况均无奖金．

（Ⅰ）小明和小辉在没有商量的情况下各买一张这种彩票，求他俩都中一等奖的概率； （Ⅱ）设“购买一张这种彩票中一等奖”为事件A，“购买一张这种彩票中二等奖”为事件B，请指出事件A?B的含义，并求事件A?B发生的概率； （Ⅲ）设购买一张这种彩票的收益为随机变量?，求?的数学期望．

得分 评卷人 16．（本小题满分16分）

a?2x设f(x)?，其中实常数a??1．

1?2x（Ⅰ）求函数f(x)的定义域和值域；

（Ⅱ）试研究函数f(x)的基本性质，并证明你的结论．

17．（本小题满分20分） 得分 评卷人

将数列?an?中的所有项按第一行排3项，以下每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：

a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 a11 a12

……

记表中的第一列数a1，a4，a8，… ，构成数列?bn?． （Ⅰ）设b8?am，求m的值；

22?（Ⅱ）若b1?1，对于任何n?N，都有bn?0，且(n?1)bn?1?nbn?bn?1bn?0．求

数列?bn? 的通项公式；

（Ⅲ）对于（Ⅱ）中的数列?bn?，若上表中每一行的数按从左到右的顺序均构成公比为

q(q?0)的等比数列，且a66? 得分 评卷人 2?，求上表中第k（k?N）行所有项的和S(k)． 5 18．（本小题满分20分） 和平面解析几何的观点相同，在空间中，空间曲面可以看作是适合

某种条件的动点的轨迹．一般来说，在空间直角坐标系O?xyz中，空间曲面的方程是一个三元方程F(x,y,z)?0．

（Ⅰ）在直角坐标系O?xyz中，求到定点M0(0,2,?1)的距离为3的动点P的轨迹（球

面）方程；

（Ⅱ）如图3，设空间有一定点F到一定平面?的距离为 常数p?0，即|FM|?p，定义曲面C为到定点F与到 定平面?的距离相等（|PF|?|PN|）的动点P的轨迹，

试建立适当的空间直角坐标系O?xyz，求曲面C的方程； 图3 （Ⅲ）请类比平面解析几何中对二次曲线的研究，讨论曲面C的几何性质．并在图4中通过画出曲面C与各坐标平面的交线（如果存在）或与坐标平面平行的平面的交线（如果必

要）表示曲面C的大致图形．画交线时，请用虚线表示被曲面C自身遮挡部分．

闸北区09届高三数学（理）学科模拟考试

参考答案与评分标准

一．填空题：

4； 3．(3,?1) 4．2； 5．8； 3?16226. (1,)； 7．(x?5)?y?16； 8．3； 9．(0,)； 10．[0,4]．

331．(0,1]； 2．

二．选择题：11．B ； 12．C； 13．C． 三．解答题：

14．[解]（Ⅰ）方法一（综合法）设线段AC的中点为E，连接ME，

则?EMD为异面直线OC与MD所成的角（或其补角） ………………………………..1分

由已知，可得DE?2,EM?3,MD?5，

?(2)2?(3)2?(5)2

??DEM为直角三角形 ……………………………………………………………….1

分

?tan?EMD?分

DE?EM23， ……………………………………………………………….4

??EMD?arctan32． 332． …………………………..13所以，异面直线OC与MD所成角的大小arctan分

方法二(向量法)

以AB,AD,AO所在直线为x,y,z轴建立坐标系， 则

O(0,0,2),C(2,2,0),M(0,0,1),D(0,2,0), ……………………………………………………2

分

OC?(2,2,?2)，

………………………………………………………………………………..1MD?(0,2,?1)，