概率统计03-04下A

南京工业大学概率统计课程考试试题（A）（江浦）

（2003/2004学年第二学期）

所在院（系） 班 级 学号 姓名 题 分 一 二 三 四 五 六 七 八 九 总 分 一、填空题（每空2分，计14分）：

1. 设P(A)=

111，P(B)=，P(A?B)=，则P(AB)= ；P（A∪B）= 。 432?2x,0?x?1,， 以?表示对?的三次独立重复观

?0,其它.2. 设随机变量?的概率密度为f(x)??察中事件{?≤

1}出现的次数，则P{?=2}= 。 23．若随机变量?在(0，5)上服从均匀分布，则方程4x2+4?x+?+2=0有实根的概率是 。

4.设总体X~N(?,?)，其中?未知，?已知，(X1，X2，X3)是样本。作样本函数如下：①④

22421X1?X2?X3333；②

1n(Xi??)2?ni?1；③

122X1?X2?X3333；

221X1?X2?X3。这些函数中是统计量的有 ；是?的无偏估计量的333有 ；最有效的是 。

二、选择题（每题3分，计9分）：

1.设随机变量?服从正态分布N(?,?)，则随?的增大，概率P{|???|??} 。

(A)单调增大 (B)单调减小 (C)保持不变 (D)增减不定

2．如果随机变量?与?满足D(???)?D(???)，则下列式子肯定正确的是 。 （A）?与?相互独立 （B）?与?不相关 （C）D??0 （D）D??D??0 3. 在假设检验中，H0为原假设，备择假设H1，则称( )为犯第一类错误。

(A) H0为真，接受H0 (B) H0为假，拒绝H0 (C) H0为真，拒绝H0 (D) H0为假，接受H0

三.（10分）一个工厂有甲、乙、丙三个车间生产同一种螺钉，每个车间的产量分别占产量的25%、35%、40%，如果每个车间成品中的次品率分别占产量的5%、4%、2%。 （1）从全厂产品中任意抽出一个螺钉，试问它是次品的概率是多少？

（2）从全厂产品中如果抽出的一个恰好是次品，试问这个次品是由甲车间生产的概率是多少？

2??A?Be?四.（12分）设连续型随机变量?的分布函数为：F(x)???0,?x22,若x?0, 若x?0.试求1)系数A及B；2)随机变量?的概率密度；3)随机变量?落在区间(ln4,ln9)内的概

率。

五. (7分)设?和?是两个独立的随机变量，?在[0，1]上服从均匀分布，?的概率密度为：

y?1?2?e,f?(y)??2?0,?y?0,y?0,

(1)求?和?的联合概率密度；(2)求P{???}。 六．（14分）设二维随机变量(?，?)有联合概率密度：

?3xy?, (x,y)?G, f(x,y)??16?(x,y)?G.?0,2其中G为0?x?2及0?y?x所围的区域。试求E?，E?，D?，D?，Cov(?，?)，???。并考察?与?独立性。

?(??1)x?,0?x?1;七. （12分）设总体X的概率密度为f(x)??

0,其它.?其中???1是未知参数，X1，X2，…，Xn是来自总体X的一个容量为n的简单随机样本。

试分别求?的矩估计量和极大似然估计量。

八.（10分）已知总体X~N(?,?)。试分别在下列条件下求指定参数的置信区间：

(1)?2未知，n=21，x?13.2，s2=5，?=0.05。求?的置信区间。 (2)?未知，n=12，s2=1.356，?=0.02。求?2的置信区间。

(已知t0.025(20)?2.0860，t0.025(21)?2.0796，?0.01(11)?24.725，?0.99(11)?3.053，

22?0.01(12)?26.217，?0.99(12)?3.571)

222九.（12分）某化工厂为了考察某新型催化剂对某化学反应生成物浓度的影响，现作若干试验，测得生成物浓度 (单位：%)为

使用新型催化剂(X)：34 35 30 32 33 34

不使用新型催化剂(Y)：29 27 32 31 28 31 32

2)。取显著性水平假定该化学反应的生成物浓度X、Y依次服从N(?1,?12)及N(?2,?2?=0.01。

(1)检验假设H0:?1??2,H1:?1??2；

2222?:?1??2，H1?:?1??2。 (2)若(1)H0成立，再检验H0(F0.005(5,6)?11.46,F0.005(6,5)?14.51，t0.005(11)?3.1058,t0.01(11)?2.72)

南京工业大学概率论与数理统计课程期末考试试题

解答（B卷）

一.填空 1.(4分) 3.(4分)

113? 2.(4分)

82??(xi?1ni?x)(yi?y)?(xi?1ni?x)2;?x. y?b4.(4分)（4.804, 5.196）；（4.8，5.2）也对。5.(3分) ?(x). 二.选择 1.(4分)(C) 2.(4分) （C）

三.(10分) 引进事件：Hi={箱中实际有i只残品}， A={通过验收}. 由条件，易见

4C235P(H0)=0.80， P(H1)=0.15， P(H2)=0.05； P(A|H0)=1， P(A|H1)=4? ，

C2464C225?19P(A|H2)= 4?.由全概率公式，知

C246?20 P(A)=

55?19 P(A|H)=0.80+0.15×+0.05×≈0.9646. P(H)i?i66?20i?0P(H0)P(A|H0)0.80?1≈≈0.8294.

P(A)0.96462由贝叶斯公式，知 P(H0|A)=

四.(9分) X的密度为fx(x)= ?x

?1,若0?x?1,

其他.?0,函数y=e有唯一反函数x=h(y)=lny， 所以

?1?fx(lny)|(lny)'|,若0?lny?1,?,若0?y?e,fy(y)= ?=?y

0,若不然;??若不然;?0,五.(11分) FZ(z)?P(X?z)?P(X?Y?z)?x?y?z??f(x,y)dxdy

?e?y,?而 f(x,y)?fX(x)?fY(y)???0,?当z＜0时，FX（z)=0； 当0≤z＜1时，FZ(z)?0?x?1,y?0,其它.x?y?z??f(x,y)dxdy??[?0zz?x00zz?x0e?ydy]dx?z?1?e?z;

z≥1时 FZ(z)?x?y?z??f(x,y)dxdy??[?e?ydy]dx?1?(1?e)e?z.

0,??FZ(z)??z?1?e?z?1?(e?1)e?z?2

?0,?0?z?1,FZ?(z)?fZ(z)??1?e?z?(e?1)e?zz?1.?2

2

2

2

2

z?0,z?0,0?z?1, z?1.六.(10分) 易求出S1 =0.096, S2 =0.026,因S1 > S2 ,令 F= S1/S2(>1).

22

由题设知Fα/2(n1-1,n2-1) =F0.025(7,8)=4.53,而F0=S1/S2=0.096/0.026=3.6923, 因F0< F0.025(7,8),故接受H0.

七.(12分) （1）由连续型随机变量的性质，可知，F(x)是连续的函数。考虑F(x)在x=0，x=1两点的连续

Aex?A, 及lim性，有limF(x)?limF(x)?limB?B， 可知A=B ???x?0x?0x?0x?0（1）

F(x)?lim(1?Ae?(x?1))?1?A，可知 B=1-A （2）由（1）limF(x)?lim?B, lim，（2）????x?1x?1x?1x?1?ex/2,x?0?1/2,0?x?1 两式，得A?B?1/2。于是，得F(x)???(x?1)?1?e/2,x?1??ex/2,x?0?f(x)??0,0?x?1

?e?(x?1)/2,x?1???1??（2）X的概率密度为

（3）P?X?1/3??1?P?X?1/3??1?F?1/3??1?1/2?1/2

??1?3???3或 P?X????1f(x)dx??10dx??311?(x?1)1edx? 22八.(12分)EX????又 EX2??2?????xf(x,y)dydx??[?x(x?y)dy]dx??????????7，

0012115， x2f(x,y)dydx??[?x(x?y)dy]dx?00121125?7?11711所以 DX?EX?(EX)?，由对称性易知 EY?，DY?。 ????12?12?14412144???? 1 11又 E(XY)???xyf(x,y)dydx??[?xy(x?y)dy]dx?，

???? 0 031771故 Cov(X,Y)?E[(X?EX)(Y?EY)]?E(XY)?EX?EY??， ???312121441?Cov(X,Y)1144 ?XY????。

11DXDY11/144?11/1442

九.(9分) 设x1, x2, …,xn是样本的一组观察值

记x(1)?min(x1,x2,?,xn)， x(n)?max(x1,x2,?,xn)

似然函数为：L(?)??i?1n?1?,0?x(1),x(n)??f(xi,?)???n

?其它?0,??min(x,x,?,x)?x是θ的极大似然估计。下面为求E(??)，先求f(x) ∴?12n(1)min?x??,0?x??x? F(x)??f(x)dx??0,x?0???1,x????x?0?0,n?x???n∴Fmin(x)?1?[1?F(x)]??1??1??,0?x??

????x????1,x?n?(1?)n?1,?(x)???∴fmin(x)?Fmin???0,0?x??其它

?)?∴E(???0x?x111(1?)n?1dx?n?(?)????

?nn?1n?1?n∴??不是θ的无偏估计。