排列与组合中的涂色问题1

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解法二：涂色按AB－BC－CD－DA的顺序进行，对AB、BC涂色有4?3?12种涂色方法。

由于CD的颜色可能与AB同色或不同色，这影响到DA颜色的选取方法数，故分类讨论：

当CD与AB同色时，这时CD对颜色的选取方法唯一，则DA有3种颜色可供选择CD与AB不同色时，CD有两种可供选择的颜色，DA也有两种可供选择的颜色，从而对CD、DA涂色有1?3?2?2?7种涂色方法。

由乘法原理，总的涂色方法数为12?7?84种

例8、用六种颜色给正四面体A?BCD的每条棱染色，要求每条棱只染一种颜色且共顶点的棱涂不同的颜色，问有多少种不同的涂色方法？ 解：（1）若恰用三种颜色涂色，则每组对棱必须涂同一颜色，而这三组间的颜色不同，

3故有A6种方法。

（2）若恰用四种颜色涂色，则三组对棱中有二组对棱的组内对棱涂同色，但组

34与组之间不同色，故有C6A6种方法。

15 （3）若恰用五种颜色涂色，则三组对棱中有一组对棱涂同一种颜色，故有C3A6种方法。

6 （4）若恰用六种颜色涂色，则有A6种不同的方法。

324156 综上，满足题意的总的染色方法数为A6?C3A6?C3A6?A6?4080种。

四、面涂色问题

例9、从给定的六种不同颜色中选用若干种颜色，将一个正方体的6个面涂色，每两个具有公共棱的面涂成不同的颜色，则不同的涂色方案共有多少种？

分析：显然，至少需要3三种颜色，由于有多种不同情况，仍应考虑利用加法原理分类、乘法原理分步进行讨论

解：根据共用多少种不同的颜色分类讨论

（1）用了六种颜色，确定某种颜色所涂面为下底面，则上底颜色可有5种选择，在上、下底已涂好后，再确定其余4种颜色中的某一种所涂面为左侧面，则其余3个面有3！种涂色方案，根据乘法原理n1?5?3!?30

（2）共用五种颜色，选定五种颜色有C6?6种方法，必有两面同色（必为相对面），确定为上、下底面，其颜色可有5种选择，再确定一种颜色为左侧面，此时的方法数

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取决于右侧面的颜色，有3种选择（前后面可通过翻转交换）

5n2?C6?5?3?90

(3)共用四种颜色,仿上分析可得

42n3?C6C4?90

3(4)共用三种颜色,n4?C6?20

例10、四棱锥P?ABCD，用4种不同的颜色涂在四棱锥的各个面上，要求相邻不同色，有多少种涂法？ P 1 2 5 ? 3 D 4 C

A B

解：这种面的涂色问题可转化为区域涂色问题，如右图，区域1、2、3、4相当于四个侧面，区域5相当于底面；根据共用颜色多少分类：

3（1） 最少要用3种颜色，即1与3同色、2与4同色，此时有A4种；

14（2） 当用4种颜色时，1与3同色、2与4两组中只能有一组同色，此时有C2 A4；

故满足题意总的涂色方法总方法交总数为A4?C2A4?72

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