第十一讲 指数、指数函数和对数、对数函数A

河北安国中学 数学高考第一轮复习导学案

第十一讲 指数、指数函数和对数、对数函数

回归课本:1.指数的性质：am·an＝am

＋n

，am÷an＝amn，(am)n＝anm(a>0，m，n∈Q)，(ab)r

－

＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)． 2．对数的性质：零和负数没有对数；1的对数是零；logaa＝1(a＞0，a≠1)．

M3．对数的运算性质：a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0；loga(MN)＝logaM＋logaN；logaN1n＝logaM－logaN；logaNm＝mlogaN；logaN＝logaN. nlogaN

4．对数的换底公式：若a＞0，且a≠1，b＞0且b≠1，N＞0，则logbN＝.

logab

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(6)y＝logax与y＝log x关于X轴对称 (7)Y轴是渐近线，即图象向上或向下无限接近y轴 (8)a＞1时，a越大，x＝1右侧图象越接近X轴 (9)图象与直线y＝1的交点(a,1)的横坐标，即为对数函数的底，a越大交点越向右． (10)y＝logax与y＝ax互为反函数 考点陪练: 1?c13

1.若a＝log2sin，3b＝ ，??3?＝log3c，则 ( ) 3

A．a>b>c B．b>c>a C．c>b>a D．b>a>c

2．若x∈(e－

1,1)，a＝lnx，b＝2lnx，c＝ln3x，则 ( A．a

A．a>c>b B．a>b>c C．c>a>b D．b>c>a

4．若函数 在R上为增函数，则a的取值范围是 ( A.??0，12?? B.?111?2，1?? C.??2，＋∞?? D.??

－∞，2?? 5．设函数f(x)＝???lg|x|，x<0，

??

2x－1，x≥0，

若f(x0)>0，则x0的取值范围是 ( A．(－∞，－1)∪(1，＋∞) B．(－∞，－1)∪(0，＋∞) C．(－1,0)∪(0,1) D．(－1,0)∪(0，＋∞)

类型一 指数式、对数式的求值或化简

解题准备：指数、对数的运算法则要熟记，还要注意对数式与指数式的互化．

【典例1】

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) )

)

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(2)已知a、b是方程x2－6x＋4＝0的两根，且a>b>0，求

a－b的值； a＋b

[点评] 带条件的求值问题，常有两种思考方法： (1)将已知的条件变形得到所需要的值或关系式； (2)将待求的式子化成可用已知条件表示的式子．

＋

探究：(1)、已知loga2＝m，loga3＝n，求a2mn的值．

1324

(2)、求lg－lg8＋lg245的值．

2493

分析：在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后运用对数运算法则化简合并，在运算中要注意化同底和指数与对数的互化．

点评：本题容易出现失误的主要原因有两个方面，一是基础知识不熟练或理解不透，如指数式与对数式的互化，指数与对数的性质及运算法则等；二是运算失误，尤其是有关系数与符号问题等．

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类型二 指数函数的图象和性质

解题准备：1.在讨论指数函数的性质或利用其性质解决问题时，应特别注意函数y＝ax(a>0且a≠1)的底数的取值是a>1还是0

a－

【典例2】 已知f(x)＝2(ax－ax)(a>0且a≠1)．

a－1

(1)、判断f(x)的奇偶性； (2)、讨论f(x)的单调性； (3)、当x∈[－1,1]时，f(x)≥b恒成立，求b的取值范围．

[点评] 本题为含参问题，需按a>1或0

类型三 对数函数的图象和性质�B

解题准备：“数”是数学的特征，它精确、量化，最有说服力；而“形”则形象、直观，能降低人的思维难度，简化解题过程，把它们的优点集中在一起就是最佳组合．

利用对数函数的图象性质，可解决与对数函数有关的比较大小、方程解的个数、研究单调性、求值域或最值问题．

以对数函数的复合函数为载体，来综合考查函数的定义域、值域及其有关性质一直是高考考查的重点内容．

x＋b

【典例3】 已知函数f(x)＝loga(a>0，b>0且a≠1)．

x－b

(1)、求f(x)的定义域； (2)、讨论f(x)的奇偶性； (3)、判断f(x)的单调性并证明；

快速解题:

技法:已知函数y＝f(x)的图象与函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象关于直线y＝x对称，记

1?

g(x)＝f(x)[f?x?＋f?2?－1].若y＝g(x)在区间??2，2?上是增函数，则实数a的取值范围是( )

?1??1?A．[2，＋∞) B．(0,1)∪(1,2) C.?，1? D.?0，? ?2??2?

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