因式分解专题4 - 用十字相乘法（含答案）

4、用十字相乘法把二次三项式分解因式

【知识精读】

对于首项系数是1的二次三项式的十字相乘法，重点是运用公式

进行因式分解。掌握这种方法的关键是确定适合条件的

两个数，即把常数项分解成两个数的积，且其和等于一次项系数。 对于二次三项

满足即

定四个常数

（a、b、c都是整数，且

，并且可以分解为

）来说，如果存在四个整数

，那么二次三项式

。这里要确

，分析和尝试都要比首项系数是1的类型复杂，因此一般要借

助画十字交叉线的办法来确定。

下面我们一起来学习用十字相乘法因式分解。

【分类解析】

1. 在方程、不等式中的应用 例1. 已知：

，求x的取值范围。

分析：本题为二次不等式，可以应用因式分解化二次为一次，即可求解。 解：

例2. 如果

值，并把这个多项式分解因式。 分析：应当把

分成

，而对于常数项-2，可能分解成

，或者分解成

能分解成两个整数系数的二次因式的积，试求m的

，由此分为两种情况进行讨论。

解：（1）设原式分解为

，其中a、b为整数，去括号，得：

将它与原式的各项系数进行对比，得： 解得： 此时，原式 （2）设原式分解为

，其中c、d为整数，去括号，得：

将它与原式的各项系数进行对比，得：

解得： 此时，原式

2. 在几何学中的应用

例. 已知：长方形的长、宽为x、y，周长为16cm，且满足

，求长方形的面积。

分析：要求长方形的面积，需借助题目中的条件求出长方形的长和宽。 解：

或

又

解得：或

∴长方形的面积为15cm2或

3、在代数证明题中的应用 例. 证明：若是7的倍数，其中x，y都是整数，则数。

是49的倍

分析：要证明原式是49的倍数，必将原式分解成49与一个整数的乘积的形式。 证明一： ∵ ∴

是7的倍数，7y也是7的倍数（y是整数）

是7的倍数

是7的倍数，所以

（m是整数）

是49的倍数。

而2与7互质，因此， 证明二：∵ 则 又∵

∵x，m是整数，∴ 所以，

4、中考点拨

是7的倍数，设

也是整数

是49的倍数。

例1.把4xy?5xy?9y分解因式的结果是________________。 解：4xy?5xy?9y

4222242222

说明：多项式有公因式，提取后又符合十字相乘法和公式法，继续分解彻底。

例2. 因式分解： 解：

_______________

说明：分解系数时一定要注意符号，否则由于不慎将造成错误。

5、题型展示 例1. 若 A. 1

B. -1

C.

能分解为两个一次因式的积，则m的值为（ ）

D. 2

解： -6可分解成

或

，因此，存在两种情况：

由（1）可得：，由（1）可得： 故选择C。

说明：对二元二次多项式分解因式时，要先观察其二次项能否分解成两个一次式乘积，再通过待定系数法确定其系数，这是一种常用的方法。

例2. 已知：a、b、c为互不相等的数，且满足 求证： 证明：

。

说明：抓住已知条件，应用因式分解使命题得证。 例3. 若 解： ∴当

，即

有一因式有一因式时，

。求a，并将原式因式分解。

说明：由条件知，

，分解时尽量出现时多项式的值为零，代入求得a，再利用原式有一个因式是，从而分解彻底。