2019年高考数学高考中档大题(32选1)规范练

高考中档大题（3+2选1）规范练·得全分（二）

(大题规范：45分钟拿到高分，全分46分)

解答题(本大题共4小题，共46分)

1．(12分)为降低汽车尾气的排放量，某厂生产甲、乙两种不同型号的节排器，分别从甲、乙两种节排器中各自抽取100件进行性能质量评估检测，综合得分情况的频率分布直方图如图所示．

11

节排器等级及利润如表格所示，其中

107

综合得分k的范围 节排器等级 一级品 二级品 三级品 节排器利润率 k≥85 75≤k<85 70≤k<75 a 5a 2a2 (1)若从这100件甲型号节排器中按节排器等级分层抽样的方法抽取10件，再从这10件节排器中随机抽取3件，求至少有2件一级品的概率；

(2)视频率分布直方图中的频率为概率，用样本估计总体，则

①若从乙型号节排器中随机抽取3件，求二级品数ξ的分布列及数学期望E(ξ)； ②从长期来看，投资哪种型号的节排器平均利润较大？ C6C4＋C62

解析 (1)至少有2件一级品的概率P＝＝. 3

C103

(2)①由已知及频率分布直方图中的信息知，乙型号节排器中的一级品的概率为11

级品的概率为，三级品的概率为，若从乙型号节排器中随机抽取3件，

420

7

，二10

21

3

?1?则二级品数ξ所有可能的取值为0，1，2，3，且ξ～B?3，?， ?4?

?3?所以P(ξ＝0)＝C???4?

03

310272112??＝，P(ξ＝1)＝C1?3??1?＝27，P(ξ＝2)＝C2?3??1?＝?4?643????3???????4??4?64?4??4?

9

， 64

?3?P(ξ＝3)＝C???4?

33

0131??＝， ?4?64??

所以ξ的分布列为

ξ 0 27 641 27 642 9 643 1 64P 13?2727913?所以数学期望E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝?或E（ξ）＝3×＝?.

44?646464644?32322

②由题意知，甲型号节排器的利润的平均值E1＝a＋×5a＝2a＋a，

555711213272

乙型号节排器的利润的平均值E2＝a＋×5a＋a＝a＋a，

104201010

E1－E2＝a2－a＝a?a－?，又因为

710110

7?10?

1?

?

11017

所以投资乙型号节排器的平均利润较大．

2．(12分)随着网络的发展，网上购物越来越受到人们的喜爱，各大购物网站为增加收入，促销策略越来越多样化，促销费用也不断增加．下表是某购物网站2017年1～8月促销费用(单位：万元)和产品销量(单位：万件)的具体数据.

月份 促销费用x 产品销量y 1 2 1 2 3 1 3 6 2 4 10 3 5 13 3.5 6 21 5 7 15 4 8 18 4.5 ^^^

(1)根据数据可知y与x具有线性相关关系，请建立y关于x的回归方程y＝bx＋a(系数精确到0.01)；

(2)已知6月份该购物网站为庆祝成立1周年，特制定奖励制度：以z(单位：件)表示日销量，z∈[1 800，2 000)，则每位员工每日奖励100元；z∈[2 000，2 100)，则每位员工每日奖励150元；z∈[2 100，＋∞)，则每位员工每日奖励200元．现已知该网站6月份日销量z服从正态分布N(0.2，0.000 1)，请你计算某位员工当月奖励金额总数大约多少元．(当月奖励金额总数精确到百分位)

参考数据：

其中xi，yi分别为第i个月的促销费用和产品销量，i＝1，2，3，…，8.

参考公式：

^^^

①对于一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其回归方程y＝bx＋a的斜率和截距

^

的最小二乘估计分别为b＝^－^－，a＝y－bx.

2

②若随机变量z服从正态分布N(μ，σ)，则P(μ－σ

－－^解析 (1)由题可知x＝11，y＝3，将数据代入b＝^338.5－8×11×374.5得b＝＝≈0.219.

1 308－8×121340^

a＝y－bx＝3－0.219×11≈0.59，

^

所以y关于x的回归方程为y＝0.22x＋0.59.

^^^

(说明：如果b≈0.22，a≈0.58，y＝0.22x＋0.58，第一问总体得分扣1分) (2)由6月份日销量z服从正态分布N(0.2，0.000 1)，得 0.954 5

日销量在[1 800，2 000)的概率为＝0.477 25，

20.682 7

日销量在[2 000，2 100)的概率为＝0.341 35，

21－0.682 7

日销量在[2 100，＋∞)的概率为＝0.158 65，

2所以每位员工当月的奖励金额大约为

(100×0.477 25＋150×0.341 35＋200×0.158 65)×30 ＝3 919.725≈3 919.73(元)． 3．(12分)

－^－

如图，已知矩形ABCD所在平面垂直于直角梯形ABPE所在平面，平面ABCD∩平面ABPE＝AB，且AB＝BP＝2，AD＝AE＝1，AE⊥AB，且AE∥BP.

(1)设点M为棱PD的中点，求证：EM∥平面ABCD；

2

(2)线段PD上是否存在一点N，使得直线BN与平面PCD所成角的正弦值等于？若存在，

5试确定点N的位置；若不存在，请说明理由．

解析 (1)解法一 由已知得，平面ABCD⊥平面ABPE，且BC⊥AB，则BC⊥平面ABPE，→→

又AE⊥AB，AE∥BP，所以AB⊥BP，所以BA，BP，BC两两垂直，故以B为坐标原点，BA，BP，→

BC分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．

M是PD的中点，连接EM，则P(0，2，0)，D(2，0，1)， M?1，1，?，E(2，1，0)，C(0，0，1)，

2

??

1??

1?→?

所以EM＝?－1，0，?.

2??

易知平面ABCD的一个法向量为n＝(0，1，0)， 1?→→?所以EM·n＝?－1，0，?·(0，1，0)＝0，所以EM⊥n， 2??又EM?平面ABCD，所以EM∥平面ABCD.

解法二 由已知得，平面ABCD⊥平面ABPE，且BC⊥AB，则BC⊥平面ABPE，又AE⊥AB，

AE∥BP，所以AB⊥BP，所以BA，BP，BC两两垂直，连接AC，BD，其交点记为O，连接MO，EM.

因为四边形ABCD为矩形，所以O为BD的中点． 1

因为M为PD的中点，所以OM∥PB，且OM＝PB.

21

又AE∥PB，且AE＝PB，

2所以AE∥OM，且AE＝OM.