高考数学一轮总复习练习利用导数研究函数零点问题

答案精析

1．A 2.B 3.B 4.D 5.D 6.B 7.AC 8．BCD 9.[1，＋∞) ln 2 0211?10.??2 021，e? 11.A 12.D

32

x－123

13．A [函数f (x)＝ax3－x2＋1存在唯一的零点x0，且x0>0，等价于a＝3有唯一正根，

2x32

x－12

即函数y＝g(x)＝3的图象与直线y＝a在y轴右侧有1个交点，

x

3?2－x??2＋x?

又y＝g(x)为奇函数且g′(x)＝，

2x4

则y＝g(x)在(－∞，－2)，(2，＋∞)上为减函数，在(－2，0)，(0，2)上为增函数， 则满足题意时，y＝g(x)的图象与直线y＝a的位置关系如图所示， g(－2)＝－

2， 2

即实数a的取值范围是?－∞，－?

2?.] 2?

1－2ax21

f′(x)＝－2ax＝，x>0，

xx

14．C [由题意，函数f (x)＝ln x－ax2，则

当a≤0时，f′(x)>0，此时函数f (x)单调递增，函数最多只有一个零点，不符合题意； 1－2ax2

当a>0时，令f′(x)＝0，即＝0，解得x＝x则当01时，f′(x)>0，函数f (x)单调递增， 2a

1

或x＝－2a

1

(舍去)， 2a

1时，f′(x)<0，函数f (x)单调递减， 2a

所以函数f (x)的最大值为f ?

?

1?＝ln2a?11－， 2a2

要使得函数f (x)有两个零点，则ln

111－>0，解得0

5

15．4

88

x＋?＝f (x)可知函数f (x)是周期为的周期函数，且函数f (x)为偶函数， 解析 由f ??e?e4

0，?时，f (x)＝ex－2的图象， 由x∈??e?

4

－，0?上的图象，进而画出函数f (x)的图象．令g(x)＝0，则f (x)＝ln x，画出y可画出x∈??e?＝f (x)，y＝ln x两个函数的图象如图所示，

4

0，?时，f (x)＝ex－2，其斜率为e. 当x∈??e?11

令(ln x)′＝＝e，解得x＝，

xe代入y＝ln x

11

，－1?处的切线方程为y－(－1)＝e?x－?，即y＝ex－2，即得y＝－1，函数y＝ln x在点??e??e?1121220

，－1?处相切于点A.<6<，且ln??<2. 函数y＝ln x与f (x)＝ex－2在点??e??e?ee由图可知，两个函数有A，B，C，D四个公共点，故g(x)有4个零点． 16．(－∞，1]

解析 g(x)＝x2－x－1关于x轴对称的函数为h(x)＝－x2＋x＋1，

因为函数f (x)＝aex－x2与g(x)＝x2－x－1的图象上存在关于x轴的对称点， 所以f (x)＝aex－x2与h(x)＝－x2＋x＋1的图象有交点， 即方程aex－x2＝－x2＋x＋1有解， 即aex＝x＋1有解， a＝0时符合题意，

1

a≠0时转化为ex＝(x＋1)有解，

a1

即y＝ex与y＝(x＋1)的图象有交点，

a

11y＝(x＋1)是过定点(－1,0)的直线，其斜率为， aa1

设y＝ex与y＝(x＋1)相切时，切点的坐标为(m，em)，

a

6

?则?1

e＝?a，

m

em1

＝，m＋1a

1

解得a＝1，切线斜率为＝1，

a

两函数图象如图所示，

11

由图可知，当≥1或<0，

aa

1

即a≤1且a≠0时，y＝ex与y＝(x＋1)的图象有交点，

a此时，f (x)＝aex－x2与h(x)＝－x2＋x＋1的图象有交点，

即函数f (x)＝aex－x2与g(x)＝x2－x－1的图象上存在关于x轴的对称点， 综上可得，实数a的取值范围为(－∞，1]．

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