离散数学习题解+代数系统

34．设f是从半群〈X，*〉到〈Y，?〉的同态函数，问下列结论是否为真。 a) 〈X，*〉在f下的同态象是〈Y，?〉的子代数系统； b) 〈X，*〉在f下的同态象是半群；

c) 若〈X，*〉是含幺交换半群，则〈X，*〉在f下的同态象也是含幺可交换半

群。

[解] a) 真。因为1）f（X）?Y。这点是根据事实f : X→Y得出的。2）集合f（X）

在运算?下是封闭的，即，如果a，b∈f（X），那么a?b∈f（X）。因为若a，b∈f f（X），那么存在着x，y∈X，使得f（x）=a且f（y）=b。进一步，由X在*运算下封闭（因〈X，*〉为半群）可知存在着某一z∈X，使z=x*y因此

a?b=f（x）?f（y）

=f（x*y）（f是同态函数，满足同态公式） =f（z） ∈f（Ｘ）

运算结果的唯一性是自动遗传，因为〈Y，?〉至少是一代数系统，故?应是Y上的二元运算，具有运算结果唯一性。

故由1）和2），可知〈X，*〉在f下的同态象〈f（X），?〉是〈Y，?〉的子代数系统。

b) 真。因为3）运算?在集合f（X）上满足结合律，即，如果a、b、c∈f（X），那么（a?b）?c=a?（b?c）。因若a，b，c∈f（X），那么存在着x，y，z∈X，使f（x）=a且f（y）=b及f（z）=c，故此 （a?b）?c=（f（x）?f（y））f（z）

=f（x*y）?f（z） （f满足同态公式） =f（（x*y）*z） （f满足同态公式）

=f（x*（y*z）） （〈X，*〉为半群，*运算有结合律） =f（x）?f（y*z） （f满足同态公式）

+f（z）=f（x）?（f（y）○） （f满足同态公式）

=a?（b?c）

于是由a)的1），2）及这里的3），可知〈X，*〉在f下的同态象〈f（X），?〉是半群。

c) 真。因为4）〈f（X），?〉含有幺元，即 若e∈X是含幺半群〈X，*〉的幺元，那么f（e）∈f（X）就是〈f（X），?〉的幺元。因为对任何a∈f（X），存在着x∈X，使f（x）=a，故此

a?f（e）=f（x）?f（e）

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=f（x*e） （f满足同态公式） =f（x） （x*e=x） =a

同理可证f（e）?a=a，因而a?f（e）=f（e）?a=a。5）运算?在f（X）上满足交换律，即，对任何a，b∈f（X），都有a?b=b?a。因若a，b∈f（X）则存在着x，y∈X，使f（x）=a且f（y）=b，因此

a?b=f（x）?f（y）

=f（x*y）（f满足同态公式）

=f（y*x）（〈X，*〉是含幺可交换半群，故*有交换律） =f（y）f（x）（f满足同态公式） =b?a

综合a) 的1） 2），b）的3），和这里的4）和5），可知，若〈X，*〉是含幺可交换半群，则〈X，*〉在f下的同态象〈f（X），?〉也是含幺可交换半群。 35．设N6={0，1，2，3，4，5}，N6上的+6运算定义如下

?a，b∈N6，a+6b=（a+b）mod6

求了半群〈N6，+6〉的运算表如下：

+6 0 1 2 3 4 5

从运算表看出〈N6，+6〉是一循环半群，生成元是1，5。因而除两个平凡子半群〈{0}，+6〉及〈N6，+6〉外，任何包含1或5的子集都不能构成真子半群。所以考虑{0，2，3，4}的子集，由于2+63=5，3+64=1，故此任何包含2或4的子集中不能包含3。另外2+62=4，3+63=0，4+64=2，故此单元素集上运算+6不封闭。因而〈N6，+6〉的真子半群只有二个〈{0，3}，+6〉及〈{0，2，4}，+6〉，它们的运算表如下：

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0 0 1 2 3 4 5 1 1 2 3 4 5 0 2 2 3 4 5 0 1 3 3 4 5 0 1 2 4 4 5 0 1 2 3 5 5 0 1 2 3 4

36．证明：含幺半群的子半群可以是一 个含幺半

是子含幺半群。

[证] 〈N6，+6〉是一 个含幺半群，其幺元为1。运算表如下：

〈{4，2}，x6〉是〈N6，+6〉的子半群，并且是含幺半群，其幺元为4 运算为

但是它不是〈N6，+6〉的子含幺半群，因为〈N6，+6〉的幺元| ?{4，2}。

x6 4 2 4 2 2 42 4 幺元不遗传

S1={x| x∈S1且?y（y*x）=e}

证明：〈S1，*〉是〈S1，*〉的子含幺半群。

[证] 1）集合S1在运算*下是封闭的，即，若x1，x2∈S1，则x1*x2∈S1。因若x1，x2

∈S1则x1，x2∈S，存在着y1，y2使y1*x1=e，y2*x2=e。于是有x1*x2∈S（S在*运算下封闭，因〈S，*〉是半群），并且存在着z=y2*y1，使

z*（x1*x2）=（y2*y1）（x1*x2）

=y2*（y1*x1）*x2 （的结合律） =y2*（e*x2）

=y2*x2（e是幺元，e*x2=x2） =e

故此x1*x2∈s。

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+6 0 0 0 3 3 3 3 0 +6 0 2 4 0 0 2 4 2 2 4 0 4 4 0 2 群，但不

X6 0 0 1 2 3 4 5 0 0 0 0 0 0 1 0 1 2 3 4 5 2 0 2 4 0 2 4 3 0 3 0 3 0 3 4 0 4 2 0 4 2 5 0 5 4 3 2 1 37．设〈S，*〉是含幺半群，幺元为e

2）*运算在S1上满足结合律，这点由*运算在S上的结合律遗传而来。 3）〈S1，*〉含有〈S，*〉的幺元e。因为e∈S，且存在着e使e*e=e，所以e∈S1。

综合上述1），2），3），证得〈S1，*〉是〈S，*〉的子含幺半群。

38．写出所有不同构的一阶，二阶，三阶，四阶，五阶，六阶，七阶，八阶群。 [解] 由于素数阶群是循环群，故此一阶，二阶，三阶，五阶，七阶群各只有一个，其

运算表分别如下： * e

一阶群 二阶群 三阶群

* e a b c d

五阶群 七阶群

四阶群已知有两个，一个是循环群，一个是Kiein4群，其运算表如下：

e e a b c d a a b c d e b b c d e a c c d e a b d d e a b c

* e a b c d f g e e a b c d f g a a b c d f g e b b c d f g e a c c d f g e a b d d f g e a b c f f g e a b c d g g e a b c d f e e

* e a e e a a a e * e a b e e a b a a b e b b e a 20