高考数学试题分类汇编数列

(I)

若a1=b1= 1，d=2，q=3，求 S3 的值；

(II)

2dq(1?q2n)?N若b1=1，证明（1-q）S2n-（1+q）T2n=，n； ?21?q(Ⅲ) 若正数n满足2?n?q，设k1,k2,...,kn和l1,l2,...,ln是1，2...，，n的两个不同的排列，

c1?ak1b1?ak2b2?...?aknbn， c2?al1b1?al2b2?...?alnbn 证明

c1?c2。

本小题主要考查等差数列的通项公式、等比数列的通项公式与前n项和公式等基础知识，考查运算能力，推理论证能力及综合分析和解决问题的能力的能力，满分14分。 （Ⅰ）解：由题设，可得an?2n?1,bn?3n?1,n?N* 所以，S3?a1b1?a2b2?a3b3?1?1?3?3?5?9?55 （Ⅱ）证明：由题设可得bn?qn?1则

S2n?a1?a2q?a3q2?.....?a2nq2n?1, ①

T2n?a1?a2q?a3q2?a4q3?.....?a2nq2n?1,S2n?T2n?2(a2q?a4q?...?a2nq① 式减去②式，得 ① 式加上②式，得

S2n?T2n?2(a1?a32q?....??an2② 式两边同乘q，得

2n?2 132n?1) ②

q ) ③

q(S2n?T2n)?2(a1q?a3q3?....?a2n?1q2n?1) 所以，

(1?q)S?qT)n?S(n?T2n?(1222n T)?q2(S)n?2n?2d(q?q3?K?q2n?1)

2dq(1?q2n)*?,n?N21?q(Ⅲ)证明：c1?c2?(ak1?al1)b1?(ak2?al2)b2?K?(akn?aln)bn ?(k1?l1)db1?(k2?l2)db1q?K?(kn?ln)db1q因为d?0,b1?0,所以

n?1

c1?c2?(k1?l1)?(k2?l2)q?K?(kn?ln)qn?1 db1（1） 若kn?ln，取i=n

（2） 若kn?ln，取i满足ki?li且kj?lj,i?1?j?n 由（1）,(2)及题设知，1?i?n且

c1?c2?(k1?l1)?(k2?l2)q?K(ki?1?li?1)qi?2?(ki?li)qi?1 db1① 当ki?li时，得ki?li??1,由q?n，得ki?li?q?1,i?1,2,3.....i?1 即k1?l1?q?1，(k2?l2)q?q(q?1)…，(ki?1?li?1)qi?2?qi?2(q?1) 又(ki?li)qi?1??qi?1,所以

c1?c21?qi?1i?2i?1 ?(q?1)?(q?1)q?K(q?1)q?q?(q?1)db11?q因此c1?c2?0,即c1?c2 ② 当ki?li同理可得综上，c1?c2

28.（2009四川卷理）（本小题满分14分）

设数列?an?的前n项和为Sn，对任意的正整数n，都有an?5Sn?1成立，记

c1?c2??1，因此c1?c2 db1bn?4?an(n?N*)。 1?an（I）求数列?bn?的通项公式；

（II）记cn?b2n?b2n?1(n?N*)，设数列?cn?的前n项和为Tn，求证：对任意正整数n都有

Tn?3； 2（III）设数列?bn?的前n项和为Rn。已知正实数?满足：对任意正整数n,Rn??n恒成立，

求?的最小值。

本小题主要考查数列、不等式等基础知识、考查化归思想、分类整合思想，以及推理论证、分析与解决问题的能力。

解：（Ⅰ）当n?1时，a1?5a1?1,?a1??又 Qan?5an?1,an?1?5an?1?1

1 41?an?1?an?5an?1,即an?1??an

411?数列?an?成等比数列，其首项a1??，公比是q??

441?an?(?)n

414?(?)n4……………………………………..3分 ?bn?11?(?)n4（Ⅱ）由（Ⅰ）知bn?4?5 n(?4)?15525?16n ?cn?b2n?b2n?1?2n?2n?1?nn4?14?1(16?1)(16?4)25?16n25?16n25 = ??n n2nn2(16)?3?16?4)(16)16134,?c1? 333当n?1时，T1?

24111当n?2时，Tn??25?(2?3?K?n)

316161611n?1[1?()]2416??25?16131?16

124693??25?16??......................7分134821?16 又b1?3,b2?（Ⅲ）由（Ⅰ）知bn?4?5

(?4)n?1一方面，已知Rn??n恒成立，取n为大于1的奇数时，设n?2k?1(k?N*) 则Rn?b1?b2?K?b2k?1

1111?2?3K?K? )k?24?14?14?141?111111[1?(2?3?)KK?(? ?4n?5?? )]k24?14?14?1?41k?24?11 ?4n?5?(?1 >4n?1

??n?Rn?4n?1,即（??4）n??1对一切大于1的奇数n恒成立 ???4,否则，（??4）n??1只对满足n?1的正奇数n成立，矛盾。 4??另一方面，当??4时，对一切的正整数n都有Rn?4n 事实上，对任意的正整数k，有

b2n?1?b2n?8?5(?4)2k?1?1(?4)2k?1

?5 ?8?520? kk(16)?1(16)?415?16k?40 ?8??8 kk(16?1)(16?4)?当n为偶数时，设n?2m(m?N*)

则Rn?(b1?b2)?(b3?b4)?K?(b2m?1?b2m) <8m?4n

当n为奇数时，设n?2m?1(m?N)

则Rn?(b1?b2)?(b3?b4)?K?(b2m?3?b2m?2)?b2m?1

<8(m?1)?4?8m?4?4n

*?对一切的正整数n，都有Rn?4n

综上所述，正实数?的最小值为4………………………….14分 29.（2009福建卷文）(本小题满分)2分）

等比数列{an}中，已知a1?2,a4?16