武汉理工大学数字信号处理试卷

题2解图(1) 题2解图(2)

所以

1?1????1??1?x(n)?Res?X(z)zn?1,z????Res?X(z)zn?1,z????4?????3????

4?2????2??4?综上， n??1?n?1??x(n)??4?????3?????u(n)

?2??4?????1?1解法二：部分分式展开法1? z43432X(z)????? 11?1?1z?1??1?1z?1?1?z?11?z?11???1?z?11???1?z?1由于收敛域为z??1，所以 ???n????2?1?n?42????4?1???2??4?2x(n)??4?????3?????u(n) (6分)

?4?????2??四、可以用列表法求解，在一个周期内

nny(n)?x(n)?h(n)??x(m)h(n?m)

5x(m)和h(n?m)如表所示， h(n?m)m?0x(m) 1 2 1 0 0 1 1 1 3 1 1 0 0 1 1 4 1 1 1 0 0 1 5 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 n 0 1 2 3 4 5 y(n) 14 12 10 8 6 10 0 0 1 1 1 1 只要将表中对应于某个n的一行中的h(n?m)值和第一行中与之对应的x(m)值相乘，然后再将所有乘积结果相加，就得到此n的y(n)值。y(n)如图所示。

y(n)141210…

?68106…

5110n 21

将x(n)按n的奇偶分为两组：??x?2r??x1?r????x?2r?1??x2?r? 则X?k??

N/2?1

?x?n?Wn?0N?1nkN??x?n?Wn?0N?1nkN??x?n?WNnkn?0N?1X ?k?,X2?k?是以?2r?1?k2rkN/2为周期的五、kX1?k1?x1?x?2r?WN?X1??2k?r??WNX?2W?kN?r?0N?N???Xk??XkXk????121??1???X2?kN/N2/?2?1rk2?2rk2???k2

r??0?N/2?1?

kr?X0(X(k)?X(k)X(k)?WN/?2WX2(kk)，=?k)1NX2(k) k?0,1,又W?WW??WkNNN2X2N?k/?2?1?k??WN/X21?1NX2?k????x?r??W?r?k0?N12k1WNNkkNN?1?WN?xN?r??W?2Nrk N/212r?0r?0x/ 20仍为偶数，进一步分解：N / 2 N

?? ， N / 4 k?X1?k??W0NX2?k? r,k?0,1,...N/2?1WNx4?1(2l)?x3(l)??x?1?0WNx(2l?1)?x(l)1?4?x?2?1k20W?X(kW)N?X3(k)?WN/2X4(k)Nx?6?1??1?1?N0kWNX(k?)?X(k)?WX(k) （2分） x11?3N/244???kx?5??X2(k)?X5(k)?WN?1/2X6(k)?0WN?x?3?NkX(k?)?X5(k)?WNk)?2/2X6(20WN4?WNx?7??0WN1WN2WN?x?r?WrkN/2k?WN?x?r?W （4分）

N,? 12X?0?X?1?X?2?X?3??1?1?1X?4?X?5?X?6?X?7? ?1?3WN?1x(n)23??六、(1) 直接I型根据系数ak，bk确定结构。 x(n)z?1?1???56?16??????zz?1y(n)?1?y(n1)（4分）

?35直接6I2型结构图 z?1?1?（3分）

?(2) 直接II型对直接I型改进，合并延迟单位。z ??16?（3分）

2????II? ??1直接z1型结构图?11?zy(n)71z3?H(z)??3???13 (3) 级联型：将系统函数写成?1x(n)?12?211?1?1y?(n)?1z?21?z1?z（3分）

23?6一阶节级联型结构 ??7?6?1(4) 并联型：系统函数写成部分分式形式 H(z)z??131?11?11?z1?z（3分）

23x(n)一阶节并联型结构

七、脉冲响应不变法z?e，双线性不变法z? (1) 脉冲响应不变法

sTc?s，c?2T。 c?sHa(s)?11?1??

(2s?1)(sN?1)TAsk?12s?1H(z)??skT?1zk?11?e

22

H(z)?(2) 双线性变换

T1?e1?T2?1?z?T2?2|??（4分） T?21?e?Tz?11?e?1z?11?e?2z?111?2z?1?z?2（4分） ??16?2z21?z?1?12?1s???1T1?z（3）冲激响应不变法的主要优点：时域逼近良好；模拟频率Ω?1?1?1?z??1?z?和数字频率ω之间呈线性关系，即ω=Ω??2??3?1?z??1?z???1????T，一个线性相位的模拟滤波器可以映射成一个线性相位的数字滤波器；缺点：有频率响应混叠效应，只

适应于限带的模拟滤波器。

双线性变换法的主要优点：避免了频率响应的混叠效应；缺点：模拟频率Ω和数字频率ω之间呈非线性

?ω?关系，即 Ω?C?tan??（C为常数）。（4分）

?2?八、窗函数法设计FIR数字滤波器是在时域进行的，用窗函数截取无限长的hd(n)，这样得到的频率响应

H(z)?Ha(s)|?H(ej?)逼近于理的频率响应Hd(ej?)。

窗函数法的设计步骤：

j?(1) 给定希望逼近的频率响应函数Hd(e)；

1(2) 求单位脉冲响应hd(n)；(hd(n)?2???H??d(ej?)ej?nd?)

(3) 由过渡带宽及阻带最小衰减的要求，可选定窗形状，并估计窗口长度N。 (4) 计算所设计的FIR滤波器的单位脉冲响应；

h(n)?hd(n)w(n)j?0?n?N?1

(5) 由h(n)求FIR滤波器的频率响应H(e)，检验是否满足设计要求。（3分） 窗函数设计的优缺点

优点：窗口设计法简单、方便、实用。

j?缺点：通带和阻带的截止频率不易控制；若Hd(e)不能用简单的函数表示，则很难求出hd(n)。（2

分）

j?频率采样法是从频域出发，把给定的理想频响Hd(e)加以等间隔抽样，然后以此Hd(k)作为实际

FIR数字滤波器的频率特性的抽样值H(k)，具体设计流程有2种： 2π(1) Hd(ej?)?频率采样????Hd(e(2) Hd(ej?)?频率采样????Hd(e频率抽样法的优缺点

优点：① 可以在频域直接设计，并且适合于最优化设计。

② 特别适用于设计窄带选频滤波器。只有少数几个非零值的H(k)，因而设计计算量小。

缺点：采样频率只能等于2?N的整数倍，因而不能确保截止频率?c的自由取值，要想实现自由地

选择截止频率，必须增加采样点数N，但这又使计算量加大。 （2分）

九、采样频率?s?8?，那么采样周期T?这样就有

kN2?jkNjZT)?H(k)?IDFT???h(n)???H(z)或H(ej?) )?H(k)?内插公式????H(z)或H(ej?)（3分）

2?，对连续信号xa(t)理想采样可表示为 ??s?a(t)??xxa(nT)?(t?nT)

n????a1(t)?xn?????xa1(nT)?(t?nT)???n?cos????(t?n4)

?2?n???? 23

??3?n???n??a2(t)??xa2(nT)?(t?nT)???cos?x?(t?n4)??cos????(t?n4) ????22n????n??n???n???n???????5?a3(t)??xa3(nT)?(t?nT)??cos?x?(t?n4)?cos?????(t?n4)

n??2???n??2?n???n??????????nn??coscos因此采样后输出序列分别为cos?、和。 ??????2??2??2?xa1(t)，xa2(t)，xa3(t)的波形及采样点位置如题1解图所示。

??

xa1(t)xa2(t)121txa3(t)121t121t题1解图

由表达式及题1解图中可以看出

?a1(t)??x?a2(t)?x?a3(t) x?a2(t)和x?a3(t)恢复。那么以采样频率?s?8?对xa2(t)和xa3(t)采样后，已不能由x由题意可知，xa2(t)和

?s?4? 2??m3?10??s?4?

2??a3(t)已不包含xa2(t)、xa3(t)的全部信息，因根据采样定理，采样的结果必然导致频谱混叠，xa2(t)、x?m2?6??此无法恢复xa2(t)、xa3(t)。

xa3(t)的最高频率分别为

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