武汉理工大学数字信号处理试卷

六、画出差分方程表示的离散时间系统的直接I型、直接II型、级联型和并联型的信号流程图。（级512联型和并联型只用1阶节）y(n)?y(n?1)?y(n?2)?x(n)?x(n?1) （12分） 6631七、已知模拟滤波器的传输函数Ha(s)?2，试用脉冲响应不变法和双线性变换法分别将2s?3s?1其转换为数字滤波器，取样周期T?2s，并比较两种方法设计数字滤波器的优缺点。（12分） 八、分别说明窗函数法和频率采样法设计FIR滤波器的原理和步骤， 并说明其优缺点。（10分） 九、对三个正弦信号xa1(t)?cos2?t，xa2(t)??cos6?t，xa3(t)?cos10?t进行理想采样，采样频率为?s?8?。求三个采样输出序列，比较这三个结果。画出xa1(t)，xa2(t)，xa3(t)的波形及采样点位置，并解释频谱混淆现象。（10分）

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武汉理工大学教务处

试题标准答案及评分标准用纸

课程名称 数字信号处理 （ A 卷）

一、解：(1) 首先判断系统是否是线性系统，假设在x1(n)和x2(n)单独输入时的输出分别为y1(n)和y2(n)，即：

y1(n)?T[x1(n)]?x1(n?1)?3x1(n?6) y2(n)?T[x2(n)]?x2(n?1)?3x2(n?6)

y()n?)?Tx()]?T[ax1(n)?bx 2(n)]nbx(n)n那么当输入为x(n)?ax1(时，系统的输出为2[?ax1(n?1)?bx2(n?1)?3ax1(n?6)?3bx2(n?6)

所以系统是线性系统。 ? ay 1 ( n ) ? by 2 ( n ) （2分）

下面判断系统是否为时不变系统，假设系统的输入为x(n)，系统的输出

y(n)?T[x(n)]?x(n?1)?3x(n?6)

?x1(n?1)?3x1(n?6)当系统的输入为x1(n)?x(n?m)y时，系统的输出1(n)?T[x1(n)]

?x(n?m?1)?3x(n?m?6)由此可得系统是时不变系统，所以该系统为线性时不变系统。 （2分） ?y(n?m)接下来判断系统是否为因果系统，y(n)与x(n?1)和x(n?6)有关，由因果系统的定义可知，该系统为因果系统。 （2分）

最后，判断系统是否为稳定系统，假设输入有界，即

x(n)?Bx??

此时输出满足

y(n)?x(n?1)?3x(n?6)?4Bx??

因此系统为稳定系统。（2分）

(2) ?0?2π554??2π??为有理数，5和2没有公因子，所以周期N?5；，则（4分） ω04π25二、解：(1) 因为该LTI系统是因果的，且x(0)?0,n?1，所以y(0)?0，以此条件作为初始条件，

先求出y(1)，

1y(0)?x(1)?0?1?1 3再由y(1)值及输入推导y(2)，并依次推导得y(3),y(4)…。因而有：

111y(2)?y(1)?x(2)?2?0? 231?13?1?3?y(3)?y(2)?x(3)????0???

3?3??3?…… n?1n?1111????y(n)?y(n?1)?x(n)????0???

3?3??3?故系统的输出为 ??1?n?1??,n?1y(n)??? ?3??0,即 n?1?y(1)? 19

?1?y(n)???u(n?1) （6分）

?3?由系统的时不变性可知，当输入为x(n)??(n)，系统的单位脉冲响应为 n?1?h(n)???u(n) nn???3?3??1??1?因为?h(n)????u(n)???????，所以系统是稳定的。（2分）

??332n???n?????n?0???nh(n)的卷积，即n (2) 单位阶跃响应为输入u(n)X(z)??x(n)z与???n?2)z?nn?1n(?1/2)u(1??13??1?n???n???g(n)?h(n)?u(n)???u(n)?u(n)?u(n) （4分）

?2?1?13?nn?3?n?n三、由z变换的定义， ??(?1/2)z??(?1/2)zn????n?2n?1z1?0，极点为若该序列收敛，则要求?2z?1，即收敛域为：z?2?(2z)在原点有一个两阶零点?(?1/2)?nzn?2。?X4z(?2z)n z??1/2，则零极点图（收敛域为阴影部分）如图所示。24zn?n1??2时x(n)?0）由于X(z)为有理函数，可以根据极点直接确定收敛域：序列是左边序列（，?1?2zX(z)只有一个极点，模为12，则收敛域是z?12，因为n1??2，则收敛域包含z?0。

因为收敛域不包括单位圆，所以傅里叶变换不存在。 （３分）

图X(z)的零极点图及收敛域

（2）解法一：留数法

从收敛域z?0.5可以看出，x?n?是因果序列，即当x(n)?0。 n?0时，?1n?1n?12n?0n?0?12?? （3分）

jIm[z]Re[z]1?0.5zz?0.5z zn?1?3?11?21??n?11??1?z?zz??z1??14和z2??12zz?在围线内的极点当n?0时，收敛域内围绕原点的逆时针方向的围线C及X(z)???4842??????如题2解图(2)所示，因为 n?1n?zn?1?0.5zn??1111?????????Res?X(z)zn?1,z?????n?1??z????4????n?1?2????n n??4????z14???1???0.5z1???11????4??41????Res?X(z)zn?1,z???????z???z????z??????4?????2????

4??2?????12?????12???z??1??2??2?z?z?4 ??????4??2????1X(z)zn?1?jIm[z] z??2z]jIm[

CC?0.5Re[z]11??24Re[z] 20