04-05(2)高数一期末试题

高数一(2)期末试卷(2004－2005)

一、判断题（对的打“√”，错的打“×”）（每小题3分，共15分） 1、若z?f(x,y)在点p0(x0,y0)处可微分，则z?f(x,y)在p0(x0,y0)处连续。

（ ）

2、若z?f(x,y)在p0(x0,y0)点处沿任意方向的方向导数都存在，则z?f(x,y)在p0(x0,y0)处可 微。

（ ）

43、已知?为球体x2?y2?z2?R2(R?0)则???x2?y2?z2dv????Rdv?R??R3 （ ）

3??n???4、级数?un的部分和数列?Sn??ui?有界，则级数?un收敛

n?1n?1i?1???（ ）

5、若y1,y2是微分方程y???p(x)y??Q(x)y?0的两个特解, 则方程的通解为c1y1?c2y2

二、选择并填空（把你认为正确的填入括号内）每小题3分，共15分 1、在区域D：0?y?R2?x2上的二重积分??xy2dxdy的值为（ ）。

D（ ）

2（A）?R2 （B）4?R2 （C）?R2 （D）0

32、设P(x,y)，Q(x,y)皆具有一阶连续偏导数，表达式P(x,y)dx?Q(x,y)dy必为某一函数u(x,y)的全微分的充分必要条件为（ ）。 （A）

??P?Q?P?Q?P?Q?P?Q?????? （B） （C） （D） ?x?y?y?x?x?y?y?x3、若?an(x?1)n在x??1处收敛，则此级数在x?2处（ ）。

n?0（A）条件收敛 （B）绝对收敛 （C）发散 （D）收敛性不能确定

dy?(2x2?1)y3?x3是（ ）方程。 4、3x(1?x2)y2dx（A）可分离变量 （B）线性 （C）贝努利 （D）全微分。

5、在曲线x?t,y??t2,z?t3的所有切线中与平面x?2y?z?4平行的切线有（ ）。 （A）只有一条 （B）只有两条 （C）至少有3条 （D）不存在 三、解答题。 1．（7分）设

xz?z?z?ln?0，证明z?y?0 zy?x?y 1 / 2

2．（6分）将三重积分z????f(x,y,z)dxdydz化为柱面坐标系下的逐次积分，其中?是由

?x2?y2?2z，z?1，z?2所围成的立体。

3、（7分）求曲线积分?xy2dy?x2ydx，积分路径如图，c是x2?y2?1的上半圆周。

c

4、（9分）已知f(0)?p21，确定f(x)使曲线积分?[e?x?f(x)]ydx?f(x)dy与路径无关，并求当p1,p2p12B(-1,0) A(-1,0) 分别为（0，0），（1，1）时此积分的值。

5、（9分）计算曲面积分??ezdxdy?ydydz?xdzdx，?是由z?x2?y2与z?1所围成整个立体表

?面的外侧。

6、（8分）计算二次积分：I??dy?exdx

0y1127、（8分）把f(x)?4展开为x的幂级数并写出收敛区间。

x2?2x?38、（8分）求微分方程(x?1)y''?y'?ln(x?1)的通解。

9、（8分）证明曲面xyz?m3（m为常数）上任一点处的切平面与坐标面所围立体的体积为常数。

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