专题04 特殊点法-备战2020高考数学冲刺秘籍之恒成立与有解问题解法大全(原卷版)

备战2020高考数学冲刺秘籍之恒成立与有解问题解法大全第一篇 专题

4 特殊点法

一、问题指引

特殊点法就是在求解恒成立与有解问题时借助区间端点、极值点、最值点、直线与曲线的端点列出关于参数的不等式，或根据某一点是否满足不等式缩小参数范围。

二、方法详解

类型一、一次函数型不等式f(x)?0在区间[m,n]恒成立

若y?f(x)在?m,n?内恒有f(x)?0,则根据函数的图像

?a?0?a?0?f(m)?0可得?可合并成, 或???f(m)?0?f(n)?0?f(n)?0同理若y?f(x)在?m,n?内恒有f(x)?0则有??f(m)?0

?f(n)?02【例】【河北省邯郸2020届高三月考】对于满足|p|?2的所有实数p,则使不等式x?px?1?2p?x恒成立的x的取值范围为 .

【例】【广东省湛江市2020高考测试】设二次函数f(x)＝ax2＋bx(a≠0)满足条件：

①f(－1＋x)＝f(－1－x)；②函数f(x)的图象与直线y＝x只有一个公共点． (1)求f(x)的解析式； (2)若不等式?

【类题展示】对任意m∈[－1,1]，函数f(x)＝x2＋(m－4)x＋4－2m的值恒大于零，求x的取值范围．

类型二、二次函数型不等式f(x)?0在区间[m,n]恒成立

f(x)1?()2?tx在t∈[－2,2]时恒成立，求实数x的取值范围．

?

设f(x)?ax?bx?c(a?0).

2b?b??b????????????,??或?或?2a（1）当a?0时，f(x)?0在x?[?,?]上恒成立??2a 2a???f(?)?0????0?f(?)?0.?f(?)?0,f(x)?0在x?[?,?]上恒成立??

f(?)?0.???f????0,f(x)?0在x?[?,?]（2）当a?0时，上恒成立??

f??0.????b?b??b????????????,??f(x)?0在x?[?,?]上恒成立??2a或?或?2a 2a???f(?)?0????0?f(?)?0.【例】【安徽省皖南八校2020届高三联考】已知函数f(x)＝x2－2ax－1＋a，a∈R.

f?x?

(1)若a＝2，试求函数y＝(x>0)的最小值；

x

(2)对于任意的x∈[0,2]，不等式f(x)≤a成立，试求a的取值范围．

【类题展示】已知当x∈(0，＋∞)时，不等式9x－m·3x＋m＋1>0恒成立，则实数m的取值范围是________． 【类题展示】已知f(x)是定义在[?1,1]上的奇函数，且f(1)?1，若m,n?[?1,1],m?n?0时f(m)?f(n)?0，

m?n若f(x)?t2?2at?1对于所有的x?[?1,1],a?[?1,1]恒成立，求实数t的取值范围．

类型三、 根据自变量所在区间的端点满足的条件确定参数范围。

???2－a?x＋1，x<1，f?x1?－f?x2?

【例1】已知f(x)＝?x满足对任意x1≠x2，恒有>0成立，那么a的取值范围是

x1－x2?a，x≥1?

________．

2??x－4x＋3，x≤0，

【类题展示】已知f(x)＝?2不等式f(x＋a)>f(2a－x)在[a，a＋1]上恒成立，则实数a的取

?－x－2x＋3，x>0，?

值范围是________．

类型四、 虚设函数的零点：由题意可知函数的零点存在，但无法求出具体的值，但可以把该零点设出来以方便解决问题，也就是说设而不求。

【例】【安徽省马鞍山市第二中学2020届高三模拟】已知函数??(??)=??ln????????1+1，其中??∈??. （1）若??=1是函数??(??)的导函数的零点，求??(??)的单调区间；

（2）若不等式??(??)≤0对???∈[1,+∞)恒成立，求实数??的取值范围．

【类题展示】【江西省上饶市重点中学2020届高三联考】已知函数??(??)=??????，??(??)=2??(??+ln??)，??∈??. （1）求??(??)单调区间；

（2）若??(??)≥??(??)在[1,+∞)上恒成立，求??的取值范围.

类型五、根据极值点或最值点满足的条件确定参数范围。

a【例】【河南省信阳市2020届高三联考】设f(x)＝＋xlnx，g(x)＝x3－x2－3.

x(1)如果存在x1，x2∈[0,2]使得g(x1)－g(x2)≥M成立，求满足上述条件的最大整数M； 1

(2)如果对于任意的s，t∈[，2]，都有f(s)≥g(t)成立，求实数a的取值范围．

2【类题展示】【天津市部分区2020年高三质量调查】设??∈??，函数f(x)?lnx?ax. （1）若??=2，求曲线??=??(??)在点??(1,?2)处的切线方程； （2）若??(??)无零点，求a的取值范围；

三、跟踪训练

1.当x∈[－2,1]时，不等式ax3－x2＋4x＋3≥0恒成立，则实数a的取值范围是( ) A．[－5，－3] C．[－6，－2]

9

B．[－6，－]

8D．[－4，－3]

2

2．【广东省湛江市2020高考测试】已知函数??(??)=1?2??+1，当??≥0时，不等式??(????2+??)+??(1?????)≤0恒成立，则实数??的取值范围是（ ） A．(?∞,1]

B．(0,1]

C．(?∞,2]

1

D．(0,2]

1

3、当x∈(1,2)时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，则m的取值范围是________．

4．已知函数y＝x2－2x＋3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围为________．

x2＋2x＋a5、已知f(x)＝，x∈[1，＋∞)，且a≤1.

x1

①当a＝时，求函数f(x)的最小值；

2

②若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立，试求实数a的取值范围． a

6.已知函数f(x)＝lg(x＋－2)，其中a是大于0的常数．

x

(1)求函数f(x)的定义域；

(2)当a∈(1,4)时，求函数f(x)在[2，＋∞)上的最小值； (3)若对任意x∈[2，＋∞)恒有f(x)>0，试确定a的取值范围． 7.已知函数f(x)＝m(x－1)ex＋x2(m∈R)． (1)若m＝－1，求函数f(x)的单调区间；

(2)若对任意的x＜0，不等式x2＋(m＋2)x＞f′(x)恒成立，求m的取值范围．

8．【广东省汕尾市普通高中2020届高三教学质量监测】函数??(??)=?????1?ln(?????)． （Ⅰ）若函数??(??)在点(2，??(2))处的切线过点(1,0)，求??的值； （Ⅰ）若不等式??(??)>0在定义域上恒成立，求??的取值范围．

9．【福建省2020届高三毕业班质量检查测试】已知函数f(x)?xe?ax?alnx. （1）若??=??，求??(??)的单调区间；（2）若??(??)≥1，求??的取值范围.

10．【安徽省皖南八校2020届高三联考】已知函数??(??)=??ln(??+1)????1(??∈??). （1）讨论函数??(??)的单调性；

（2）令函数??(??)=??(??)+????，若??∈[0,+∞)时，??(??)≥0，求实数??的取值范围. 11、设函数f(x)＝lnx－x＋1. (1)讨论f(x)的单调性；

x－1(2)证明：当x∈(1，＋∞)时，1<

ln x(3)设c>1，证明：当x∈(0,1)时，1＋(c－1)x>cx

x