相似三角形”A“字模型(含详细问题详解)-经典

【练习4】已知：如图，△ABC中，∠ACD=∠B，求证：△ABC∽△ACD． 【解答】证明：∵∠ACD=∠B，∠A=∠A， ∴△ABC∽△ACD． 【练习5】如图，已知AD?AC=AB?AE． 求证：△ADE∽△ABC． 【解答】证明：∵AD?AC=AE?AB， ∴= 在△ABC与△ADE 中 ∵=，∠A=∠A， ∴△ABC∽△ADE． 【练习6】已知：如图，在△ABC中，D，E分别为AB、AC边上的点，且AD=AE，连接DE．若AC=4，AB=5．求证：△ADE∽△ACB． 【解答】证明：∵AC=3，AB=5，AD=∴， ， ∵∠A=∠A， ∴△ADE∽△ACB． 图③双A字型 【例4】如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，∠AED=∠ABC，∠BAC的平分线AF交DE于点G，交BC于点F． （1）试写出图中所有的相似三角形，并说明理由 （2）若=，求的值． 【解答】解：（1）∵∠AED=∠ABC，∠EAD=∠BAC， ∴△ABC∽△AED． ∵∠AED=∠ABC，∠EAG=∠BAF， ∴△AEG∽△ABF．

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∵∠EDG=∠ACF，∠DAG=∠CAF， ∴△ADG∽△ACF． （2）∵∴=， =， ∵△ADG∽△ACF， ∴ 【练习1】如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，AE=4，AB=6，AD：AC=2：3，△ABC的角平分线AF交DE于点G，交BC于点F． （1）请你直接写出图中所有的相似三角形； （2）求AG与GF的比． 【解答】解：（1）△ADG∽△ACF，△AGE∽△AFB，△ADE∽△ACB； （2）∵∴===，， =， ==． 又∵∠DAE=∠CAB， ∴△ADE∽△ACB， ∴∠ADG=∠C， ∵AF为角平分线， ∴∠DAG=∠FAE ∴△ADG∽△ACF， ∴∴

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==， =2．

图④内含正方形A字形，结论AH?aa?（a为正方形边长） AHBC 【例5】如图，△ABC，是一张锐角三角形的硬纸片，AD是边BC上的高，BC=40cm，AD=30cm，从这张硬纸片上剪下一个长HG是宽HE的2倍的矩形EFGH，使它的一边EF在BC上，顶点G、H分别在AC，AB上，AD与HG的交点为M． （1）求证：=； （2）求这个矩形EFGH的周长； （3）是否存在一个实数a，当HE=a时从三角形硬纸片上剪下的矩形面积最大？若存在，试求出a；若不存在，请说明理由． 【解答】（1）证明：∵四边形HEFG为矩形， ∴HG∥EF， 而AD⊥BC， ∴AM⊥BC， ∴△AHG∽△ABC， ∴=； （2）解：设HE=x，HG=2x， 则=，解得x=12， ∴这个矩形EFGH的周长=2x+4x=6x=72（cm）； （3）存在． 当HE=a，则=， ∴HG=﹣a+30， ∴S矩形HEFG=a（﹣a+30）=﹣a+30a， 当a=﹣=时，S矩形HEFG最大， 2即当HE= cm时从三角形硬纸片上剪下的矩形面积最大．

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【练习1】如图，△ABC，是一张锐角三角形的硬纸片，AD是边BC上的高，BC=80cm，AD=60cm，从这张硬纸片上剪下一个长HG是宽HE的2倍的矩形EFGH，使它的一边EF在BC上，顶点G、H分别在AC，AB上，AD与HG的交点为M． （1）试说明：=的理由； （2）求这个矩形EFGH的面积． 【解答】（1）证明：∵四边形EFGH为矩形， ∴EF∥GH， ∴∠AHG=∠ABC， 又∵∠HAG=∠BAC， ∴△AHG∽△ABC， ∴ （2）解：设HE=xcm，MD=HE=xcm， ∵AD=60cm， ∴AM=（60﹣x）cm， ∵HG=2HE， ∴HG=2xcm， 由（1）得可得 =， ， =； 解得，x=24， 故HE=24，HG=2x=48， 则矩形EFGH的面积=24×12=1152cm． 【例6】如图，在△ABC中，D为AC上一点，E为CB延长线上一点，且求证：AD=EB． 【解答】证明：过D点作DH∥BC交AB于H，如图， ∵DH∥BC， ∴△AHD∽△ABC， ∴=，即=， ， 2∵DH∥BE，

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