【创新设计】2021届高考数学(北师大版)一轮训练：第10篇 基础回扣练——推理证明、算法、复数

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所以存在n0∈N*，使得当n≥n0时，qn＞1＋n，与①矛盾，故假设不成立． 18．(2014·福州质检)阅读下面材料：

根据两角和与差的正弦公式，有 sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β， sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β，

① ② ③

由①＋②得sin(α＋β)＋sin(α－β)＝2sin αcos β， A＋BA－B

令α＋β＝A，α－β＝B，有α＝2，β＝2， 代入③得sin A＋sin B＝2sin

A＋BA－B2cos2.

(1)类比上述推理方法，根据两角和与差的余弦公式，证明：cos A－cos B＝A＋BA－B－2sin2sin2；

(2)若△ABC的三个内角A，B，C满足cos 2A－cos 2B＝1－cos 2C，试判断△ABC的形状．

(提示：如果需要，也可以直接利用阅读材料及(1)中的结论) 解 (1)因为cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β，① cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β，②

①－②得cos(α＋β)－cos(α－β)＝－2sin αsin β.③ A＋BA－B

令α＋β＝A，α－β＝B，有α＝2，β＝2， 代入③得cos A－cos B＝－2sin

A＋BA－B2sin2. (2)由二倍角公式，cos 2A－cos 2B＝1－cos 2C可化为1－2sin2A－1＋2sin2B＝1－1＋2sin2C， 所以sin2A＋sin2C＝sin2B.

设△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c， 由正弦定理可得a2＋c2＝b2.

根据勾股定理的逆定理知△ABC为直角三角形．

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