三角函数的图像与性质小题讲座

第一讲 三角函数的图像与性质?选择、填空题型?

考 点 三角函数的图像 三角函数的性质 求函数的解析式 考 情 1.对三角函数图像的考查主要是平移、伸缩变换，或由图像确定函数的解析式，如2013年四川T5，山东T5等. 2.三角函数的性质是考查的重点，可以单独命题，也可与三角变换交汇，综合考查三角函数的单调性、周期性、最值求三角函数的值域或最值 等．另外由性质确定函数的解析式也是高考考查的重点，如2013年江西T11，新课标全国卷ⅠT15等.

π

1．(2013·山东高考)将函数y＝sin(2x＋φ)的图像沿x轴向左平移个单位后，得到一个偶

8函数的图像，则φ的一个可能取值为( )

3π

A. 4C．0

πB. 4πD．－ 4

π

解析：选B 把函数y＝sin(2x＋φ)的图像向左平移个单位后，得8ππ2x＋＋φ?，到的图像的解析式是y＝sin?该函数是偶函数的充要条件是4??4ππ

＋φ＝kπ＋，k∈Z，根据选项检验可知φ的一个可能取值为.

24

ππ

ω＞0，－＜φ＜?的部分图像如图所示，2.(2013·四川高考)函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)?22??则ω，φ的值分别是( )

π

A．2，－ 3π

C．4，－

6

π

B．2，－ 6π

D．4， 3

π2π35π5ππ

－?＝·，所以ω＝2.又因为2×＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，且－解析：选A 因为－?12?3?ω4122

πππ<φ<，所以φ＝－. 223

3．(2013·江西高考)函数y＝sin 2x＋23sin2x的最小正周期T为________．

π

2x－?＋3，所以该函数的解析：y＝sin 2x＋2 3sin2x＝sin 2x－3cos 2x＋3＝2sin?3??2π

最小正周期为T＝＝π.

2

答案：π

4．(2013·新课标全国卷Ⅰ)设当x＝θ时，函数f(x)＝sin x－2cos x取得最大值，则cos θ＝________.

解析：f(x)＝sin x－2cos x＝5 ?cos φ＝

25525?sin x－cos x＝5sin (x－φ)，其中sin φ＝5，5?5?

5ππ

，当x－φ＝2kπ＋(k∈Z)时函数f(x)取到最大值，即θ＝2kπ＋＋φ(k∈Z)时函数f(x)522

25

取到最大值，所以cos θ＝－sin φ＝－. 5

25

答案：－ 5

1．六组诱导公式 公式一 sin(2kπ＋α)＝sin α(k∈Z)，cos(2kπ＋α)＝cos α(k∈Z)，tan(2kπ＋α)＝tan α(k∈Z) sin(π＋α)＝－sin α，cos(π＋α)＝－cos α， tan(π＋α)＝tan α sin(－α)＝－sin α，cos(－α)＝cos α， tan(－α)＝－tan α sin(π－α)＝sin α，cos(π－α)＝－cos α， tan(π－α)＝－tan α ππ－α?＝cos α，cos?－α?＝sin α sin??2??2?ππ＋α?＝cos α，cos?＋α?＝－sin α sin??2??2?公式二 公式三 公式四 公式五 公式六 2．三种函数的图像和性质 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图像 ππ－＋2kπ，＋2kπ?(k∈在?2?2?Z)上单调 π递增；在??2＋2kπ， 在[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)上单调递增；在[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)上单调递减 对称中心： π－＋kπ， 在??2 单调性 π＋kπ?(k∈Z)上单调2? 对称性 3π＋2kπ?(k∈Z)上单调递减 2?递增 对称中心：(kπ，0)(k∈Z)； π对称轴：x＝＋kπ(k∈Z) 2?π＋kπ，0?(k∈Z)； ?2?对称轴：x＝kπ(k∈Z) kπ?对称中心：??2，0? (k∈Z) 3.三角函数的两种常见图像变换

1横坐标变为原来的倍(1)y＝sin x―――――――→y＝sin(x＋φ)???????? y＝sin(ωx＋纵坐标不变平移|φ|个单位φ)―――――――――→ 横坐标不变

y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)．

1横坐标变为原来的倍向左?φ>0?或向右?φ<0?

?纵坐标变为原来的A倍(2)y＝sin x???????? y＝sin ωx 纵坐标不变???????????? y＝sin(ωx＋φ)――――――――――→ y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0). ?横坐标不变

向左??0或向右??0平移?纵坐标变为原来的A倍?个单位

热点一 5π5π

sin，cos?，则角α的最小正值为 [例1] (1)已知角α的终边上一点的坐标为?6??6( )

5π

A. 65πC. 3

2π B.

311π D.

6

三角函数的概念、基本关系式和诱导公式 π?1

－θ＋cos(π＋θ)＝0，则cos2θ＋sin 2θ的值是________． (2)若3cos??2?25π5π

[自主解答] (1)∵sin>0，cos<0，

66∴α为第四象限角．

5π3

cos－

62

又tan α＝＝＝－3，

5π1sin625π

∴α的最小正值为. 3

π?

(2)∵3cos??2－θ?＋cos(π＋θ)＝0， 1∴3sin θ－cos θ＝0，从而tan θ＝.

3

141＋ 33cosθ＋sin θcos θ1＋tan θ16

∴cos2θ＋sin 2θ＝＝＝＝. 222＝21?2105sinθ＋cosθ1＋tanθ

1＋?9?3?2

6

[答案] (1)C (2)

5

——————————————————(规律·总结)——————————————

应用三角函数的概念和诱导公式应注意两点

(1)当角的终边所在的位置不是唯一确定的时候要注意分情况解决，机械地使用三角函数的定义就会出现错误．

(2)使用三角函数诱导公式常见的错误有两个：一个是函数名称，一个是函数值的符号．

41．已知角α的终边过点P(－8m，－6sin 30°)，且cos α＝－，则m的值为________．

54

解析：由点P(－8m，－6sin 30°)在角α的终边上且cos α＝－，知角α的终边在第三象

5限，则m>0，又cos α＝

41＝－，所以m＝.

52?－8m?2＋91

答案： 2

2．已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边上一点P(－4,3)，则

－8m