2020年高考数学 专题13 算法初步、推理与证明、复数(含解析)

形如a?bi(a,b?R)的数叫复数，其中a,b分别是它的实部和虚部．若b?0，则a?bi为实数，若b?0，则a?bi为虚数，若a?0,b?0，则a?bi为纯虚数． (2)复数相等：a?bi?c?di?a?c,b?d(a,b,c,d?R)． (3)共轭复数：a?bi与c?di共轭?? (4)复数的模

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向量OZ的模r叫做复数z?a?bi的模，记作z或a?bi，即z＝a?bi＝a2?b2. 2.复数的几何意义

(1)复平面的概念：建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．

(2)实轴、虚轴：在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数；除原点以外，虚轴上的点都表示纯虚数． (3)复数的几何表示：

?a?c，（a,b,c,d?R）

?b??d?复平面内的点Z(a,b)?????平面向量OZ . 复数z?a?bi????3．复数的运算

(1)复数的加、减、乘、除运算法则 (2)复数加法的运算定律

复数的加法满足交换律、结合律． 【讲一讲提高技能】 1必备技能： （1）复数的概念

对于复数a＋bi(a，b∈R)，a叫做实部，b叫做虚部；当且仅当b＝0时，复数a＋bi(a，

一一对应一一对应b∈R)是实数a；当b≠0时，复数a＋bi叫做虚数；当a＝0且b≠0时，复数a＋bi叫

做纯虚数．

（2）复数的运算法则与实数运算法则相同，主要是除法法则的运用，另外复数中的几个常用结论应记熟：(1)(1±i)＝±2i；(2) i

4n＋2

2

1?i1?i=i；=-i；(3)i4n＝1；i4n＋1＝i；1?i1?i＝－1；i

4n＋1

4n＋3

＝－i；

4n＋3

i＋i

4n＋i

4n＋2

＋i

＝0；(4)设ω＝?13±i，则ω0＝1；ω2＝?；ω3＝1；1＋22ω＋ω2＝0.

2典型例题：

例1已知i是虚数单位，若z?1?3i??i，则z的共轭复数的虚部为（ ）

A．

11ii B．? C． D．? 10101010【答案】B 【解析】

试题分析：因为z?虚部为?i?1?3i?3ii3i???，所以z??，所以z的共轭复数的1?3i10101010101 10例2设i是虚数单位，z表示复数z的共轭复数. 若z?1?i,则A. ?2 B. ?2i C. 2 D. 2i

z?i?z?（ ） i分析：复数的除法运算法则是分子分母同时乘以分母的共轭复数，把分母化为实数. 【解析】由题意

z1?i(1?i)i?i?z??i(1?i)?2?1?i?1?i?1?i?2，故选C. iii【练一练提升能力】 1. 复数(1?i2)? . 1?i【答案】?1 【解析】

1?2ii（是虚数单位），则z的虚部是（ ） 1?i3111A． B． C．? D．?i

22222. 复数z?【答案】B 【解析】 试题分析：

（一）

选择题（12*5=60分）

z?11?2i?1?2i??1?i?3?i31????i，?z的虚部是，故选 B．

21?i222?1?i??1?i?

1.某程序框图如图所示，该程序运行后输出的S为

A．?11 B．-3 C． D．2

32【答案】D 【解析】

2.观察下列各式：a?b?1,a?b?3,a?b?4,a?b?7,a?b?11,22334455则

a10?b10?

A．28 B．76 C．123 D．199 【答案】C

【解析】等式右面的数构成一个数列1,3,4,7,11，数列的前两项相加后面的项，即

an?an?1?an?2，所以可推出a10?123，选C.

3.如图给出的是计算是（ ）

1111的值的一个程序框图，则判断框内应填入的条件???????2462016

A．i?1007 B．i?1008 C．i?1008 D．i?1007 【答案】B 【解析】

4．我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径. “开立圆术”相当于给出了已知球的体积V，求其直径d的一个近似公式d?316V. 人们还用过一些类似的近似公式. 根据π =3.141599判断，下列近

似公式中最精确的一个是

A.d?3321330016V B．d?32V C．d?V D．d?V 915711【答案】D 【解析】由V?4d3a6b6V?()，得d?3，设选项中常数为，则??；A中代入得

a32b?6?96?16?157?3.375，B中代入得???3，C中代入得???3.14，D中代入1623006?11?3.142857，由于D中值最接近?的真实值，故选择D． 得??21??5．已知实数x??1,9?，执行如图所示的程序框图，则输出的x不小于55的概率为（ ）