无穷大量与无穷小量&极限的运算法则

第五讲

Ⅰ 授课题目：

§2.4无穷大量与无穷小量；§2.5极限的运算法则。 Ⅱ 教学目的与要求：

1、理解无穷大与无穷小的概念，弄清无穷大与无穷小的关系； 2、掌握极限的运算法则。 Ⅲ 教学重点与难点：

1、无穷大与无穷小的概念、相互关系； 2、用极限的运算法则求极限。 Ⅳ 讲授内容：

§2.4无穷大量与无穷小量 一、无穷大的概念： 引例：讨论函数 y?f(x)?化趋势。

1，当 x?1时的变x?1111?E?R?， 越来越大(任意大)，即：要 ?E?x?1?，

Ex?1x?1111也即：?E?R?，??0，当 x?1?时，有：?E。

EEx?1当 x?1时，定义2.9：?E?R?，变量y在其变化过程中，总有一时刻，在那个时刻以后，y?E成立，则称变量y是无穷大量，或称变量y趋于无穷大，记：limy??。 如：limx?11lgx???，lim?tgx???。 ??，lim?x?0?x?1x?2注 1. 若：limy??，则习惯地称此时y?f(x)的极限为无穷(大)；

2.无穷大不能与很大的数混淆； 3.无穷大与无界变量的区别；

1 当x?k?,(k?0,?1,?2??)时，f(x)??，无界，但非sinx无穷大，?x?k?时，f(x)为有限数。

例如：y?f(x)?例1 函数 y?xcosx在(??,??)内是否有界?又当 x???时，此函数是否为无穷大？为什么？ 解 用反证法

若：当 x???时，y?xcosx非无穷大，

则?M?0,?X?0,当x?X时,有xcosx?M,(1)，取xn?2n ? ?第 １ 页 共 6 页

?2，当n充分大时

必有xn?X，而 xncosxn?0与(1)式矛盾。

? x???时，y?xcosx，非无穷大。

4.无穷大运算的结论：

(1)有界变量与无穷大量之和是无穷大量； (2)两个无穷大量之积是无穷大量； (3)有限个无穷大量之积是无穷大量。 二、无穷小量： 1.概念：

定义2.10 以零为极限的变量称为无穷小量。 例如：lim11?0y?，则称 时，变量 是无穷小量。 n??nnn??2n2注 无穷小量非很小的数，但零是可作为无穷小量的唯一的数。

2.两个重要结论： 结论1

y?A，?y?A??，lim??0。 定理2.9 lim例如： lim6x?56x?5556x?5??，??6?，而：lim?0，?lim?6。

x??x??xx??xxxx结论2

定理2.10 若：lim??0，且：y?M,M?0，?lim?y?0 推论 若：C为常数，lim??0?limC??0。

1??

x?0x11 ?limx?0，sin?1，?limxsin?0。

x?0x?0xx例如：limxsin三、无穷大量与无穷小量的关系： 定理2.11 若：limy??，? limx例如：lime??，? limx???11?0；若：lim??0,(??0)?lim??。

?y1?0。

x???ex注 无穷大、无穷小与极限过程有关。 四、无穷小的阶(无穷小的比较)： 1.概念：

定义2.11 设?,?是关于同一过程的无穷小，lim若：lim?也是关于同一过程的极限， ???0，则称?是比?较高阶的无穷小，记：???(?)； ??若：lim??，则称?是比?低阶的无穷小；

?第 ２ 页 共 6 页

??c(c?0)，则称?是与?同阶的无穷小； ?特别地：c?1时，称?与?是等价的无穷小，记：?~?。

若：lim例如：?limx1?，? x?0时，x与2x是同阶无穷小。

x?02x2注 1.同一过程的无穷小方能比较；

2.lim?存在，方能比较。 ?'2.重要结论：

?'?'?定理2.12 若：?~?，?~?，且：?lim' ，则 lim=lim'。

???'常用的等价无穷小：

x?0时，x~sinx~tgx~arcsinx~arctgx~ln(x?1)~ex?1，……。

例2 设：x?0时，(1?cosx)ln(1?x2)是比xsinxn高阶的无穷小，而xsinxn是比ex?1高阶的无穷小，则 n??

2x22x(1?cosx)ln(1?x2)13?n2?lim?limx?0，? 3?n?0 ? 解 ? limnnx?0x?0x?02xsinxxx?n?3；

xsinxnxxnn?1又：lim2?lim?limx?0，?n?1?0 ? n?1，

xx?0x?0x2x?0e?1即：1?n?3，故：n?2。 §2.5 极限的运算法则

定理2.13 若：limx?A，limy?B?lim(x?y)?limx?limy?A?B。 推论1 limxi?Ai，i?1,2,?,n，? limnnn?x??limx??A。

iii?1i?1i?1??lim??0，? lim(???)?0 推论2 lim注 可推广到有限个。

定理2.14 若：limx?A，limy?B? lim(xy)?limxlimy?AB

推论1 limxi?Ai，i?1,2,?,n，? lim?x??limx??A

iiii?1i?1i?1nnn??lim??0，? lim???0 推论2 lim注 可推广到有限个。

推论3 limf(x)?A?0，lim??0，? lim?f(x)?0

x?A，c为常数 ? limcx?climx?cA 推论4 lim第 ３ 页 共 6 页

推论5 limx?A?limx?(limx)?A，limx?(limx)?A (A?0)，

nnn1n1n1nn?Z?。

定理2.15 若：limx?A，limy?B?0?lim例1 求：lim(3x2?2x?1)。

x?1xlimxA??。 ylimyB解 lim(3x2?2x?1)?3limx2?2limx?1?3?12?2?1?1?2

x?1x?1x?1注 若：f(x)是一多项式，则：limf(x)?f(x0)。

x?x02x2?x?5例2 求：若：f(x)是lim。

x?23x?1im(2x2?x?5)52x2?x?5lx?解 lim?2?

x?23x?1lim(3x?1)7x?2注 若：f(x)?=

x?x0x?x0q(x)q(x),p(x0)?0 p(x),q(x)是多项式，则：limf(x)?lim?

x?xx?x00p(x)p(x)limq(x)?limp(x)q(x0)。 p(x0)5x

x?2x2?45xx2?4??。 ?0，? lim2解 ? limx?2x?2x?45xx?3例4 求：lim2。

x?3x?911x?3x?3?lim? ?lim解 lim2x?3x?3x?3x?9x?3(x?3)(x?3)6例3 研究：lim1x?2。()

x?4x?44x?211x?2?lim?lim? 解 limx?4x?4x?4(x?2)(x?2)x?4x?24例5 求：lim例6 求：limx?01?x?1。 x解

limx?0x111?x?1(1?x?1)(1?x?1)?lim? ?lim?limx?0x?0xx(1?x?1)x?01?x?12x(1?x?1)第 ４ 页 共 6 页