江苏省徐州市2020届高三上学期第一次质量抽测数学1试题答案

徐州市 2019~2020 学年度高三年级第一次质量检测

数学 I 参考答案与评分标准

一、填空题：

1．

{ x 1 x 2 }

4 3． 5

1

8．

1

2． 2i 10．

3 π

4． 20

5． [4,+

)

6． 2

9． 135 11． ( x 2)2

y2

8

12． 3

13．

4

7． 4

14．

3

4 2

二、解答题： 15．（ 1）在 △PBC 中，因为 M， N 分别为棱 PB， PC 的中点，

7 P

4

所以 MN // BC ． ????????????

3 分

N

又 MN 平面 AMN ，BC 平面 AMN ，

所以 BC// 平面 AMN ．?????????? 所以 AM

6 分 8 分

A

M

C

（ 2）在 △ PAB 中，因为 AP

AB ， M 为棱 PB 的中点，

PB ．????????????

又因为平面 PAB⊥平面 PBC，平面 PAB 所以 AM 又 AM

平面 PBC

PB， AM

B 平面 PAB ，

平面 PBC．?????????????????????? 平面 AMN ，所以平面 AMN ⊥平面 PBC． ??????????

12 分

14 分

16．（ 1）在 △ ABC 中，由余弦定理 b2 c2

2bc cos A

a2 得，

b2

20 2 2 5

5 b 25 ，即 b 2 4b 5

5 0 ，

??????????

4 分

解得 b 5 或 b 1 （舍），所以 b 5 ． ???????????????

6 分

（ 2）由 cos A

5 5

及 0

A

得， sin A

1 cos A

2

1 (

5

)

2

2 5

5 10

，?8 分

所以 cosC

cos(

( A B))

cos(A

) 4

2

5

(cos A sin A) 2

10 ，

又因为 0

C

，所以 sin C

1 cos2 C

1 ( 10 ) 2

10

3 10 ，

10

从而 tanC

3 10

sin C 10

cos C 10

10

2tan C 1 tan2 C

3 ，??????????????????

12 分

所以 tan2C

．（ ）在 △SAO中， SO 17 1

SA

2

2

1

3 32

AO

3

4

．???????????????

5

14 分

2

2

2

3

4

， ?????????? 2 分

4

，????????

3

2

由 △SNO1∽ △

SAO可知， SO

1

r

，所以

SO

SO

所以 OO1

4 4 r ，所以 V (r )

3

1R

1

r

4 分

πr 2 (4 4 r ) π(3r

3 3 9

4

r 3 ),0 r

3．?7 分

数学I试卷答案 第 1 页(共 4 页)

（ 2）由（ 1 ）得 V (r )

4所以 V (r )

4 π(3r 2 r 3 ),0 r 9

3，

9

π(6r 3r 2 ) ，令 V (r ) 0 ，得 r

2 ，?????????

9 分

当 r (0,2) 时， V (r ) 0 ，所以 V ( r ) 在 (0,2) 上单调递增； 当 r (2,3) 时， V (r ) 0 ，所以 V (r ) 在 (2,3) 上单调递减．

2时， V (r ) 取得最大值 V 16π

所以当 r (2) ．

答：小圆锥的体积

V 的最大值为

16π

9

2

9

．???????????????

14 分

2

18．（ 1）直线 l 的方程为 y k( x a) ，即 kx

因为直线 l 与圆 O：x

y ak 0 ，

ak k2

2

y

2

b 相切，所以

b ，故 k 1

22 b

2

．

a b

所以椭圆 C 的离心率

b2

1

．???????????? 4 分

e

1 a2

2 k

1

x

（ 2）设椭圆 C 的焦距为

2c

，则右准线方程为

a2

c ，

2

由

y k( x a) a2

a 2 得 y k (

x c

c

a)

k

a2 ac

，所以 Q(

a2

, k (a

ac )

) ，? 6 分

c

c

c

由

x2 y 2 1

2222324222a 2 b 2 得 (b a k ) x 2a k x a k a b 0 ， y k( x a)

a 3k 2 ab2

解得 xp

2 22，则 y p k( 2 22a) 2 22，

b a k b a k b a k

a3 k2 ab2

2ab2 k

所以

P b 2

（ a3 k 2 ab2 ， - 2ab 2k ) ，?????????????????

a 2k 2 b2 a 2k 2

10 分

232222 a a k ab k( a ac) 2ab k 0 ， 0 ，所以222b 2 a2 k2 c c b a k

即 ( 2 2 2 ) 2 2 2 ( )

，?????????????????? k b k a a a b c

因为 OP OQ

12 分

由（ 1）知， k

2

a b

2

b 2

2 ，所以 a(

a 2b 2 b 2

2

2

所以 a

2a 2c ，即 a

2c ，所以

c

a

1

b

)

2b4 (a c)

2

a

b

2

，

，故椭圆 C 的离心率为

1

．??16分

19．（ 1） f (x)

1

a 2 2

2 ln x

x

因为曲线 y 所以 f (1)

a 1 1 ， x x f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为

x y 1 0 ，

a 1 1 ，得 a 0 ．?????????????????

2 分

（ 2）因为 f ( x) ax 1 ln x 存在两个不相等的零点．

2 x

数学I试卷答案 第 2 页(共 4 页)

1 a ． x

①当 a ≥ 0 时， g ( x) 0 ，所以 g (x) 单调递增，至多有一个零点．??

1 所以 g( x)

ax

1 ln x 存在两个不相等的零点，则

g ( x)

4 分

②当 a

0 时，因为当 x (0 ， a) 时， g ( x)

当 x

(

10 ， g ( x) 单调递增，

，+ ) 时， g (x) 0 ， g( x) 单调递减，

a

6 分 1 时， g( x) max g ( 1 ) ln( 1) 2 ． ??????????

a a a

因为 g( x) 存在两个零点，所以 ln( 1 ) 2 0 ，解得 e 2 a 0．??? 7分

a

1 2 2

因为 e a 0 ，所以 a e 1 ． 所以 x

因为 g(1) a 1

2

因为 e

a

2

0 ，所以 g( x) 在 (0 ， ) 上存在一个零点．

a 0 ，所以 ( 1 )2 1 ． a a

2

1

???? 8 分

2 e ) ，

因为 g[( 1 ) ] ln( 1，设 t 1 ，则 y 2ln t t 1(t 1 ) 1

a a a a 2 t 2

因为 y t 0 ，所以 y 2ln t t 1(t e ) 单调递减，

所以 y

2ln e2

e2 1 3 e2 0 ，所以 g[( 1)2]

所以 g( x) 在

1

a

ln( 1 ) 2 1

a a

1 0 ，

，( a ) 上存在一个零点．

综上可知，实数 a 的取值范围为 ( e 2 ,0) ．?????????????

1 1 1 1 2x 1 ln x

（ 3）当 a 2 时，

ln x 2 x x x2 f ( x) (2 x)ln x ， f ( x) x2 1

设 g( x) 2 x 1 ln x ，则 g (x) 2 0 ．所以 g( x) 单调递增，

x

且 g( ) 2

因为当 x

10 分

，

1

ln

1

0 ， g (1) 1

2 (0 ，x0 ) 时， g( x)

0

0 ，所以存在 x0 ( ，1) 使得 g( x0 ) 0，??12分 2 0 ，即 f ( x) 0 ，所以 f ( x) 单调递减；

1当 x ( x ，+ ) 时，

g ( x) 0

，即

f (x) 0

，所以

f (x)

单调递增，

所以 x x0 时， f (x) 取得极小值，也是最小值，

此时 f (x0 ) (2

1 )ln x0 (2

因为 x0 ( ，1) ，所以 f ( x0 ) ( 1，0) ，

2

因为 f (x) ≥ ，且 为整数，所以 ≤ 1 ，即

1 ， a1

2

1

x0

1 ) 1 2 x0

x0

(4 x0

1 ) x0

4 ，????? 14 分

的最大值为

k 1 ，

1．??? 16 分

20．（ 1）由 an 1 kan

2

3 可知， a2

3k 1， a3 3k2

2

因为 { an 1} 为等比数列，所以 (a2 即 (3k

1)2 (a1 1)(a3 1) ，

2)

2 (3k

k

2) ，即 3k

10k

8

0 ，解得 k

2 或 k

4

，?2分

3

数学I试卷答案 第 3 页(共 4 页)

当 k

4 时， an 3

1

3

4 3

( an

3) ，所以 an

3 ，则 an

1

2 ，

a

所以数列 { an 当 k

1} 的公比为 1，不符合题意；

2 时， an 1 1 2( an 1) ，所以数列 { an

1} 的公比 q

n 1

1

2 ，

an 1

所以实数 k 的值为 2 ． ??????????????????????

为奇数 ,

4 n n

n

（ 2）由（ 1）知 an 1 2 ，所以 bn n 为偶数 ,

4 分

2

n

m

则 S2 m (4

1) 4 (4 3) 4

[4 (2 m 1)] 4

2

m

(4 1) (4 3)

m(4 m)

4m 1

3

4

[4 (2 m 1)] 4 4

4

，????????????????????

m

6 分

则 S2 m 1 S2 m

b2 m m(4

m)

m

4m 4 ，

3

因为 b2 m b2m+1 3 2 m 4 ，又 (b2m 2 b2m+3 ) (b2m b2 m+1 ) 3 4

且 b2 b3 5 0 ， b1 3 0 ，所以 S2 m 1 0 ，则 S2m 0 ，

2 0 ，

设

S

2m

bt

0,t

N* ，??????????????????????

m

8 分

S2 m 1

则 t 1,3 或 t 为偶数，因为 b3 1 不可能，所以 t

S

①当

1 或 t 为偶数，

2m

m(4 m)

4m

1

4

2

S

=b1 时，

2 m 1

m(4 m)

4

m

3 3

4

3 ，化简得 6 m

24m 8

4 ≤ 4 ，

即 m2 4m 2 ≤ 0 ，所以 m 可取值为 1， 2， 3，

S2 7 S4 S6 87 S4

b1 成立．??????? 12 分 验证 得，当 m 2 时， , 3,

S5 23 S1 3 S3 S3

S

②当 t 为偶数时，

设 cm

2S2 m

m(4

m)

4m 1 4

4m

3

2m 1

m(4 m)

4

2

1

3m

2

m

3

m 1

4

， 3

12m 4 1 m

3m

12m 4

4

，则 cm 1

cm

c4

9m

42m 21

，

由①知 m

3 ，当 m

1

4 时， c5

3

5

4

0 ；

4

当 m

4 时， cm cm 3 19

0 ，所以 c4 c5 c6

，所以 cm 的最小值为 c5

3

2

3m 12m

S

19 ， 1024

所以 0

2m

S2 m 1

1

S2m

5 ，令 S

4 b2 ，则 1

2m 1

4

4 ，

1024 1

4m

1

2

即 3m

12m 4 0 ，无整数解．

综上，正整数 m 的值 2 ．?????????????????????

数学I试卷答案 第 4 页(共 4 页)

16 分