平面几何中的向量方法课时练

平面几何中的向量方法

→→→→

1．在四边形ABCD中，若AB＋CD＝0，AC·BD＝0，则四边形为( ) A．平行四边形 C．等腰梯形 →→

解析：由AB＋CD＝0， →→→得AB＝－CD＝DC.

∴四边形ABCD为平行四边形．

→→又AC·BD＝0知，对角线互相垂直，故四边形为菱形． 答案：D

2．在△ABC中，AB＝AC，D、E分别是AB、AC的中点，则( ) →→A.BD＝CE →→C.BE＝BC

→→

B.BD与CE共线 →→

D.DE与BC共线 B．矩形 D．菱形

解析：由题意知，DE为△ABC的中位线， →→

∴DE∥BC，∴DE与BC共线． 答案：D

→→→

3．已知A、B是圆心为C，半径为5的圆上两点，且|AB|＝5，则AC·CB等于( ) 5A．－

2C．0

解析：易知△ABC为正三角形， 5→→

AC·CB＝5·5cos120°＝－，应选A.

2答案：A

3

－3，?，则与直线AB平行的向量的坐标可4．已知点A、B的坐标分别为A(4,6)，B?2??以是( )

14?914

，3；②?7，?；③?－，－3?；④(－7,9)． ①??3??2??3?A．① C．①②③

B．①② D．①②③④ 5

B. 253D.

2

39→→

－3，?，∴AB＝?－7，－?，易知①、②、③与AB平行，故选C. 解析：∵A(4,6)，B?2?2???答案：C

5．已知直线l：mx＋2y＋6＝0，向量(1－m,1)与l平行，则实数m的值为( ) A．－1 C．2

B．1 D．－1或2

m1

解析：由题意得－＝，解得m＝－1或2.

21－m答案：D

→→

6．直角坐标平面xOy中，若定点A(1,2)与动点P(x，y)满足OP·OA＝4，则点P的轨迹方程是________．

解析：由题设知，(1,2)·(x，y)＝4 ∴x＋2y＝4. 答案：x＋2y－4＝0

→→→→7．(2008·天津)如右图所示，在平行四边形ABCD中，AC＝(1,2)，BD＝(－3,2)，则AD·AC＝________.

→→→

解析：∵AB＋AD＝AC＝(1,2)， →→→

AD－AB＝BD＝(－3,2)， →

两式相加得AD＝(－1,2)．

→→∴AD·AC＝(－1,2)·(1,2)＝－1×1＋2×2＝3. 答案：3

8．如下图，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB、AC于不→→→→

同的两点M、N，若AB＝mAM，AC＝nAN，则m＋n的值为________．

解析：如下图，过B作BD∥MN，

易知m＝

ABADAC＝，n＝， AMANAN

AD＋ACBODN

∴m＋n＝.∵＝＝1.

ANOCNC∴AD＋AC＝2AN. ∴m＋n＝2. 答案：2

9．已知：AM是△ABC中BC边上的中线，求证： 1

AM2＝(AB2＋AC2)－BM2.

2证明：∵M是BC的中点，

→1→→→→∴AM＝(AB＋AC)，BM＝MC，

21→1→→→

|AM|2＝(|AB|2＋|AC|2)＋AB·AC.

42→→→→→→

∵AB＝AM＋MB，AC＝AM＋MC， →→→→∴AB·AC＝|AM|2－|BM|2.

1→1→→→→

∴|AM|2＝(|AB|2＋|AC|2)＋(|AM|2－|BM|2)，

421

∴AM2＝(AB2＋AC2)－BM2.

2

10．如图所示，以原点和A(5,2)为两个顶点作等腰直角三角形OAB，∠B＝90°，求点B的坐标．

→

解：设B(x，y)，则|OB|＝x2＋y2. ∵B(x，y)，A(5,2)，

→

∴|AB|＝?x－5?2＋?y－2?2， →→又|AB|＝|OB|，

∴?x－5?2＋?y－2?2＝x2＋y2， 整理，得10x＋4y＝29①

→→→→∴又OB＝(x，y)，AB＝(x－5，y－2)，且OB⊥AB， →→∴OB·AB＝0，∴x(x－5)＋y(y－2)＝0， 即x2＋y2－5x－2y＝0，②

?由①、②解得?7

y＝?2，3x＝，2

?或?3

y＝－?2.7x＝，2

37??73，或，－?. ∴B?2??22??2

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1.在△ABC中，若|AB|＝1.5，|AC|＝1.5，|BC|＝1，则|AB－AC|的值为( ) A．0 C.3

→→→

解析：|AB－AC|＝|CB|＝1. 答案：B

→→

2．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝(k,1)，AC＝(2,3)，则k的值是( ) 3A. 2C．5

3B．－ 2D．－5 B．1 D．2

→→→

解析：BC＝AC－AB＝(2,3)－(k,1)＝(2－k,2)． →→→→

∵∠C＝90°，∴AC⊥BC，∴AC·BC＝0. ∴(2,3)·(2－k,2)＝0， 即2(2－k)＋6＝0，∴k＝5. 答案：C

→→→→3．如图，在?ABCD中，AC＝(1,2)，BD＝(－3,2)，则AD·AC＝________.

3→1→→1→1

解析：设AC与BD的交点是O，则OD＝BD＝(－，1)，AO＝AC＝(，1)，

2222→→→

∴AD＝AO＋OD＝(－1,2)， →

又AC＝(1,2)，

→→∴AD·AC＝1×(－1)＋2×2＝3. 答案：3

→→→

4．在?ABCD中，AB＝(1,2)，AD＝(－3,2)，则AC的坐标为________． →→→

解析：AC＝AB＋AD＝(1,2)＋(－3,2)＝(－2,4)． 答案：(－2,4)

5．已知圆C：(x－3)2＋(y－3)2＝4及点A(1,1)，M是圆C上任意一点，点N在线段MA→→

的延长线上，且MA＝2AN，求点N的轨迹方程．

解：设M(x0，y0)，N(x，y)，由

→→

MA＝2AN，得(1－x0,1－y0)＝2(x－1，y－1)．

??1－x0＝2?x－1?，∴? ?1－y0＝2?y－1?.???x0＝3－2x，∴? ?y0＝3－2y.?

代入圆C得4x2＋4y2＝4，即x2＋y2＝1. 故点N的轨迹方程为x2＋y2＝1.