高考数学二轮复习专题四三角函数、向量与解三角形第4讲平面向量数量积学案

第4讲 平面向量数量积

1. 平面向量的数量积是高考的必考内容，考查内容主要涉及平面向量数量积的概念、向量的平行、垂直及求有关向量的夹角问题，运用到数形结合、转化与化归等思想．

2. 高考中的主要题型：(1) 平面向量数量积的运算；(2) 利用数量积解决平行与垂直等问题；(3) 利用向量解决某些简单的几何问题．

1. (2017·全国卷Ⅲ)已知向量a＝(－2，3)，b＝(3，m)，且a⊥b，则m＝________． 答案：2

解析：∵ a⊥b，∴ a·b＝－2×3＋3m＝0，解得m＝2.

→

2. (2018·湛江模拟)在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，AB＝

→→→

(1，－2)，AD＝(2，1)，则AD·AC＝________．

答案：5

→→→

解析：因为四边形ABCD为平行四边形，所以AC＝AB＋AD＝(1，－2)＋(2，1)＝(3，－

→→

1)．所以AD·AC＝2×3＋(－1)×1＝5.

2π

3. 已知e1，e2是夹角为的两个单位向量，a＝e1－2e2，b＝ke1＋e2.若a·b＝0，则

3

实数k＝ ________．

5答案：

4

55

解析：∵ a·b＝0，∴ (e1－2e2)·(ke1＋e2)＝0，即k－＋k＝0，即k＝.

24

4. (2018·苏州暑假测试)已知平面向量a＝(2，1)，a?b＝10，若|a＋b|＝52，则|b|＝________．

答案：5

22

解析：因为a＝(2，1)，所以|a|＝5.又|a＋b|＝52，所以a＋2a·b＋b＝50，所2

以b＝25，所以|b|＝5.

, 一) 平面向量数量积的运算

, 1) 已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61. (1) 求a与b的夹角θ； (2) 求|a＋b|的值．

解：(1) 因为(2a－3b)·(2a＋b)＝61，

22

所以4|a|－4a·b－3|b|＝61.

又|a|＝4，|b|＝3，所以64－4a·b－27＝61，所以a·b＝－6.

a·b－61

所以cos θ＝＝＝－.

|a||b|4×32

2π

又0≤θ≤π，所以θ＝.

3

222222

(2) |a＋b|＝(a＋b)＝|a|＋2a·b＋|b|＝4＋2×(－6)＋3＝13， 所以|a＋b|＝13.

已知|a|＝4，|b|＝8，a与b的夹角是120°. (1) 计算：① |a＋b|，② |4a－2b|；

1

(2) 当k为何值时，(a＋2b)⊥(ka－b)．

?1?解：由已知得a·b＝4×8×?－?＝－16. ?2?

222(1) ① ∵ |a＋b|＝a＋2a·b＋b＝16＋2×(－16)＋64＝48， ∴ |a＋b|＝43.

222② ∵ |4a－2b|＝16a－16a·b＋4b＝16×16－16×(－16)＋4×64＝768， ∴ |4a－2b|＝163.

(2) ∵ (a＋2b)⊥(ka－b)，∴ (a＋2b)·(ka－b)＝0，

22

∴ ka＋(2k－1)a·b－2b＝0，即16k－16(2k－1)－2×64＝0， 解得k＝－7.即当k＝－7时，a＋2b与ka－b垂直．

, 二) 平面向量的平行与垂直问题

, 2) 向量a＝(x，1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)，且a⊥c，b∥c，求|a＋b|和a＋b与c的夹角．

解：∵ a⊥c，∴ 2x－4＝0，解得x＝2. ∵ b∥c，∴ －4－2y＝0，解得y＝－2.

∴ a＝(2，1)，b＝(1，－2)，a＋b＝(3，－1)，

22

∴ |a＋b|＝3＋（－1）＝10.

（a＋b）·c3×2＋（－1）×（－4）2

设a＋b与c的夹角为θ，则cos θ＝＝＝.

|a＋b||c|210×20

ππ

∵ 0≤θ≤π，∴ θ＝，即a＋b与c的夹角为.

44

π????(2018·姜堰、泗洪联合调研测试)已知向量a＝?sin?α＋?，3?，b＝(1，4cos α)，

6????

α∈(0，π)．

(1) 若a⊥b，求tan α的值； (2) 若a∥b，求α的值．

π??解：(1) ∵ a⊥b，∴ sin?α＋?·1＋3·4cos α＝0, 6??

253

∴ tan α＝－.

3

π??(2) ∵ a∥b，∴ sin?α＋?·4cos α－3＝0， 6??

π??sin?2α＋?＝1. 6??

ππ13π

又α∈(0，π)，<2α＋<，

666

πππ

∴ 2α＋＝，∴ α＝.

626

, 三) 利用数量积解决几何问题 , 3) 已知半径为1，圆心角为3π︵

的AB上有一点C. 2

︵→→

(1) 当C为AB的中点时，D为线段OA上任一点，求|OC＋OD|的最小值；

︵→→

(2) 当C在AB上运动时，D，E分别为线段OA，OB的中点，求CE·DE的取值范围．

→

解：以O为原点，以OA为x轴正方向，建立如图所示的平面直角坐标系．

2

(1) 设D(t，0)(0≤t≤1)，C(－22→→

所以OC＋OD＝(－＋t，)，

22

12221→→212

所以|OC＋OD|＝－2t＋t＋＝t－2t＋1＝(t－)＋(0≤t≤1)，

222222→→

时，|OC＋OD|取得最小值，最小值为. 22

3π1→

(2) 设OC＝(cos α，sin α)，0≤α≤，E(0，－)，

22

1→→→

则CE＝OE－OC＝(0，－)－(cos α，sin α)

21

＝(－cos α，－－sin α)．

2

111→

因为D(，0)，所以DE＝(－，－)，

222故当t＝

12π1→→1

所以CE·DE＝(cos α＋＋sin α)＝sin(α＋)＋.

222443πππ7π

因为0≤α≤，所以≤α＋≤，

2444π

所以sin(α＋)∈[－1，1]，

4则

2π11212sin(α＋)＋∈[－，＋]． 2444242

22

，)， 22

1212→→

所以CE·DE的取值范围是[－，＋]．

4242

(2018·泰州中学学情调研)矩形ABCD中，P为矩形ABCD所在平面内一点，且满足PA→→

＝3，PC＝4，矩形对角线AC＝6，则PB·PD＝________．

11

答案：－

2

→→→→→→→2→→→→→→

解析：由题意可得PB·PD＝(PA＋AB)·(PA＋AD)＝PA＋PA·AD＋AB·PA＋AB·AD＝9＋

PA2＋AC2－PC2→→→→→

PA·(AD＋AB)＋0＝9＋PA·AC＝9＋3×6×cos(π－∠PAC) ＝9－18·＝9－

2·PA·AC9＋36－161118×＝－.

2×3×62

1. (2018·全国卷Ⅱ)已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝________． 答案：3

22

解析：由题意得a·(2a－b)＝2a－a·b＝2|a|－(－1)＝2＋1＝3. 2. (2017·全国卷Ⅰ)已知向量a＝(－1，2)，b＝(m，1)．若向量a＋b与a垂直，则m

3

＝________．

答案：7

解析：由题意得a＋b＝(m－1，3)，因为a＋b与a垂直，即(a＋b)·a＝0，所以有－(m－1)＋3×2＝0，解得m＝7.

3. (2018·北京卷)设a，b均为单位向量，则“|a－3b|＝|3a＋b|”是“a⊥b”的________条件．

答案：充分必要

222222

解析：|a－3b|＝|3a＋b|?|a－3b|＝|3a＋b|?a－6a·b＋9b＝9a＋6a·b＋b.因

2222为a，b均为单位向量，所以a－6a·b＋9b＝9a＋6a·b＋b?a·b＝0?a⊥b ，即“|a－3b|＝|3a＋b|”是“a⊥b”的充分必要条件．

→→→→

4. (2017·江苏卷)如图，在同一个平面内，向量OA，OB，OC的模分别为1，1，2，OA→→→→→→

与OC的夹角为α，且tan α＝7，OB与OC的夹角为45°.若OC＝mOA＋nOB(m，n∈R)，则m＋n＝________．

答案：3

sin α??cos α＝7，2

解析：由题意得?解得cos α＝(负值舍去)，

10sinα＋cosα＝1，

??α∈[0，π]，

2

2

→→→→→→→OA·OCOA·（mOA＋nOB）m＋nOA·OB2

即cos α＝＝＝＝ ①.

→→1022|OA||OC|

→→→→2OB·OCmOB·OA＋n→→

又OB与OC的夹角为45°，所以＝＝ ②.

2→→2|OB||OC|又易知cos∠AOB＝cos(α＋45°)＝cos αcos 45°－sin αsin 45°＝×

23

＝－， 25

31

m－n＝，??553→→

即OA·OB＝－，代入①②可得?

53

??－5m＋n＝1，226

即m＋n＝，故m＋n＝3. 555

5. (2017·山东卷)已知e1，e2是互相垂直的单位向量，若3e1－e2与e1＋λe2的夹角为60°，则实数λ的值是________．

3

答案： 3解析：由题意不妨取e1＝(1，0)，e2＝(0，1)，由条件可设a＝3e1－e2＝(3，－1)，

13－λ2

b＝e1＋λe2＝(1，λ)，所以cos〈a，b〉＝cos 60°＝＝，所以3－λ＝1＋λ，2

221＋λ2272×－10210

4