第五章平面向量要点梳理

§5.1 平面向量的概念及线性运算

1．向量的有关概念 名称 向量 零向量 单位向量 平行向量 共线向量 相等向量 相反向量 定义 既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模) 长度为0的向量；其方向是任意的 长度等于1个单位的向量 方向相同或相反的非零向量 方向相同或相反的非零向量又叫做共线向量 长度相等且方向相同的向量 长度相等且方向相反的向量 两向量只有相等或不等，不能比较大小 0的相反向量为0 0与任一向量平行或共线 备注 平面向量是自由向量 记作0 a非零向量a的单位向量为± |a|2.向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 (1)交换律：a＋b加法 求两个向量和的运算 ＝b＋a. (2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)． 求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差 则 (1)|λa|＝|λ||a|； (2)当λ>0时，λa的方向与数乘 求实数λ与向量a的积的运算 λ(μa)＝(λμ)a；(λ三角形法减法 a－b＝a＋(－b) a的方向相同；当λ<0时，＋μ)a＝λa＋μa；λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0 λ(a＋b)＝λa＋λb 3.共线向量定理

向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.

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§5.2 平面向量基本定理及坐标表示

1．平面向量基本定理

如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1、λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. 不共线的向量e1、e2叫做这一平面内一组基底． 2．平面向量的坐标运算

(1)向量加法、减法、数乘及向量的模 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则

2a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)， a－b＝(x1－x2，y1－y2)， λa＝(λx1，λy1)， |a|＝x21＋y1.

(2)向量坐标的求法

①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．

→→

②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB＝(x2－x1，y2－y1)，|AB|＝?x2－x1?2＋?y2－y1?2. 3．平面向量共线的坐标表示

设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.a∥b ? x1y2－x2y1＝0.

§5.4 平面向量的应用

1．向量在平面几何中的应用

平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行、垂直、平移、全等、相似、长度、夹角等问题． (1)证明线段平行或点共线问题，包括相似问题，

常用共线向量定理：a∥b ? a＝λb(b≠0) ? x1y2－x2y1＝0. (2)证明垂直问题，常用数量积的运算性质 a⊥b ? a·b＝0 ? x1x2＋y1y2＝0.

(3)求夹角问题，利用夹角公式 x1x2＋y1y2a·b

cos θ＝＝2222 (θ为a与b的夹角)．

|a||b|x1＋y1x2＋y22．平面向量与其他数学知识的交汇

平面向量作为一个运算工具，经常与函数、不等式、三角函数、数列、解析几何等知识结合，当平面向量给出的形式中含有未知数时，由向量平行或垂直的充要条件可以得到关于该未知数的关系式．在此基础上，可以求解有关函数、不等式、三角函数、数列的综合问题．

此类问题的解题思路是转化为代数运算，其转化途径主要有两种：一是利用平面向量平行或垂直的充要条件；二是利用向量数量积的公式和性质．

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§5.3 平面向量的数量积

1．平面向量的数量积

已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cos θ叫做a和b的数量积(或内积)，记作a·b＝|a||b|cos θ.

规定：零向量与任一向量的数量积为__0__.

两个非零向量a与b垂直的充要条件是a·b＝0，两个非零向量a与b平行的充要条件是a·b＝±|a||b|.

2．平面向量数量积的几何意义

数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积． 3．平面向量数量积的重要性质 (1)e·a＝a·e＝|a|cos θ；

(2)非零向量a，b，a⊥b?a·b＝0； (3)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；

当a与b反向时，a·b＝－|a||b|，a·a＝a2，|a|＝a·a； a·b

(4)cos θ＝；

|a||b|(5)|a·b| ≤ |a||b|.

4．平面向量数量积满足的运算律 (1)a·b＝b·a(交换律)；

(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(λ为实数)； (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.

5．平面向量数量积有关性质的坐标表示

设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2，由此得到 (1)若a＝(x，y)，则|a|2＝x2＋y2或|a|＝x2＋y2.

→

(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A、B两点间的距离|AB|＝|AB|＝?x2－x1?2＋?y2－y1?2. (3)设两个非零向量a，b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b?x1x2＋y1y2＝0.

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