2020年中考数学一轮复习培优训练：《三角形》

∵AD⊥BC，BE⊥AC， ∴CF⊥AB， ∵BH⊥AB， ∴CF∥BH， ∴∠CBH＝∠BCF， ∵点M是BC的中点， ∴BM＝MC，

在△BMH和△CMF中，

，

∴△BMH≌△CMF（ASA）， ∴BH＝CF，

∵AB＝BC，BE⊥AC， ∴BE垂直平分AC， ∴AF＝CF， ∴BH＝AF， ∴AF＝CF＝BH＝3， 故答案为：3，3； （2）如图②，连接CF，

∵AD⊥BC，BE⊥AC， ∴CF⊥AB， ∵BH⊥AB， ∴CF∥BH， ∴∠CBH＝∠BCF， ∵点M是BC的中点， ∴BM＝MC，

在△BMH和△CMF中，

，

∴△BMH≌△CMF（ASA）， ∴BH＝CF，

∵AB＝BC，BE⊥AC， ∴BE垂直平分AC， ∴AF＝CF， ∴BH＝AF， ∴AF＝CF＝BH＝2， 故答案为：2，2；

（3）从第（1）、（2）中发现AF＝CF＝BH； 猜想BH＝1， 理由如下： 如图③，连接CF，

∵AD⊥BC，BE⊥AC， ∴CF⊥AB， ∵BH⊥AB， ∴CF∥BH， ∴∠CBH＝∠BCF， ∵点M是BC的中点， ∴BM＝MC，

在△BMH和△CMF中，

，

∴△BMH≌△CMF（ASA）， ∴BH＝CF，

∵AB＝BC，BE⊥AC， ∴BE垂直平分AC， ∴AF＝CF， ∴BH＝AF， ∴AF＝CF＝BH＝1．

4．解：（1）∵△DEF是等边三角形， ∴DF＝EF＝DE，∠DFE＝60°， ∵BD＝BE，DF＝EF，BF＝BF， ∴△DBF≌△EBF（SSS）

∴∠DBF＝∠EBF，且∠DBF+∠EBF＝120°， ∴∠EBF＝60°， 故答案为：60°； （2）结论仍然成立，

理由如下：如图2，过点F作FG⊥BC，FH⊥AB，

∵∠DFE＝60°，∠ABC＝120°，

∴∠FDB+∠FEB＝180°，且∠FEB+∠FEG＝180°， ∴∠FDB＝∠FEG，且∠FHD＝∠FGE＝90°，FD＝EF， ∴△FDH≌△FEG（AAS）

∴FH＝FG，且FG⊥BC，FH⊥AB， ∴∠ABF＝∠FBE＝60°；

（3）由（2）可知：△FDH≌△FEG， ∴DH＝EG，

∴BD+BE＝BH+DH+BE＝BH+BG，

∵∠ABF＝∠FBE＝60°，FG⊥BC，FH⊥AB， ∴∠BFH＝∠BFG＝30°， ∴BF＝2BH＝2BG， ∴BF＝BH+BG＝BD+BE．

5．解：（1）①如图2所示：作点M关于CE的对称点M'，过点M'作M'N⊥BC，垂足为N，交EC于点P，

∵点M与点M'关于EC对称， ∴MP＝M'P， ∴NP+MP＝NP+M'P，

∴点N，点P，点M'三点共线，且M'N⊥BC时，NP+MP的值最小；

故答案为：作点M关于CE的对称点M'，过点M'作M'N⊥BC，垂足为N，交EC于点P；