（鲁京津琼专用）2020版高考数学大一轮复习第九章平面解析几何第9讲（第1课时）直线与圆锥曲线练习

第1课时 直线与圆锥曲线

一、选择题

1.过抛物线y＝2x的焦点作一条直线与抛物线交于A，B两点，它们的横坐标之和等于2，则这样的直线( ) A.有且只有一条 C.有且只有三条

B.有且只有两条 D.有且只有四条

2

解析 ∵通径2p＝2，又|AB|＝x1＋x2＋p，∴|AB|＝3＞2p，故这样的直线有且只有两条. 答案 B

bx2y2

2.直线y＝x＋3与双曲线2－2＝1(a＞0，b＞0)的交点个数是( )

aabA.1

B.2

C.1或2

D.0

解析 因为直线y＝x＋3与双曲线的渐近线y＝x平行，所以它与双曲线只有1个交点. 答案 A

3.经过椭圆＋y＝1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l，交椭圆于A，B两点，设O为2→→

坐标原点，则OA·OB等于( ) A.－3 1

C.－或－3

3

1B.－ 31D.± 3

babax2

2

解析 依题意，当直线l经过椭圆的右焦点(1，0)时，其方程为y－0＝tan 45°(x－1)，422

即y＝x－1，代入椭圆方程＋y＝1并整理得3x－4x＝0，解得x＝0或x＝，所以两个231→→?41?交点坐标分别为(0，－1)，?，?，∴OA·OB＝－，同理，直线l经过椭圆的左焦点时，

3?33?1→→

也可得OA·OB＝－.

3答案 B

4.抛物线y＝x到直线x－y－2＝0的最短距离为( ) A.2

B.72

852

6

|x－y－2|

2

＝

|－x＋x－2|

2

2

2

x2

C.22 D.

解析 设抛物线上一点的坐标为(x，y)，则d＝＝

1

??1?27??－?x－?－???2?4?

2

答案 B

172

，∴x＝时， dmin＝.

28

5.(2017·石家庄调研)椭圆ax＋by＝1与直线y＝1－x交于A，B两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为3

2

3a，则的值为( ) 2b23B. 3

C.93

2

D.23

27

22

A.

解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，线段AB中点M(x0，y0)， 由题设kOM＝＝2

2

y0x03. 2

??ax1＋by1＝1，（y2＋y1）（y2－y1）a由?2得＝－. 2

b?ax2＋by2＝1，（x2＋x1）（x2－x1）?

又

y2－y1y2＋y12y03

＝－1，＝＝. x2－x1x2＋x12x02ab3. 2

所以＝答案 A 二、填空题

x2y2

6.已知椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)，F(2，0)为其右焦点，过F且垂直于x轴的直线与

ab椭圆相交所得的弦长为2.则椭圆C的方程为________.

c＝2，??b?a＝2，xy解析 由题意得?＝1，解得?∴椭圆C的方程为＋＝1.

42a?b＝2，

??a＝b＋c，

2

2

2

2

2

2

答案

x2y2

4

＋＝1 2

2

7.已知抛物线y＝ax(a＞0)的焦点到准线的距离为2，则直线y＝x＋1截抛物线所得的弦长等于________.

11

解析 由题设知p＝＝2，∴a＝. 2a4

12

抛物线方程为y＝x，焦点为F(0，1)，准线为y＝－1.

4

2

1??y＝x2，

联立?4消去x，

??y＝x＋1，

整理得y－6y＋1＝0，∴y1＋y2＝6，∵直线过焦点F， ∴所得弦|AB|＝|AF|＋|BF|＝y1＋1＋y2＋1＝8. 答案 8

8.过椭圆＋＝1内一点P(3，1)，且被这点平分的弦所在直线的方程是________. 164解析 设直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点， 由于A，B两点均在椭圆上， 故＋＝1，＋＝1， 164164两式相减得

（x1＋x2）（x1－x2）（y1＋y2）（y1－y2）

＋＝0.

164又∵P是A，B的中点，∴x1＋x2＝6，y1＋y2＝2， ∴kAB＝

2

x2y2

x21y21x22y22

y1－y23

＝－. x1－x24

3

∴直线AB的方程为y－1＝－(x－3).

4即3x＋4y－13＝0. 答案 3x＋4y－13＝0 三、解答题

x2y2

9.设F1，F2分别是椭圆E：2＋2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，过F1且斜率为1的直线lab与E相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列. (1)求E的离心率；

(2)设点P(0，－1)满足|PA|＝|PB|，求E的方程. 解 (1)由椭圆定义知|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4a， 4

又2|AB|＝|AF2|＋|BF2|，得|AB|＝a，

3

l的方程为y＝x＋c，其中c＝a2－b2.

y＝x＋c，??22

2

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点的坐标满足方程组?xy消去y，化简得(a2＋2＝1，??ab－2aca（c－b）

＋b)x＋2acx＋a(c－b)＝0，则x1＋x2＝2. 2，x1x2＝a＋ba2＋b2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

3

44ab因为直线AB的斜率为1，所以|AB|＝2|x2－x1|＝2[（x1＋x2）－4x1x2]，即a＝22，

3a＋b2

2

故a＝2b，

22

ca2－b22

所以E的离心率e＝＝＝.

aa2

(2)设AB的中点为N(x0，y0)，由(1)知

x0＝

x1＋x2

2－ac2cc＝2，y0＝x0＋c＝. 2＝－a＋b33

2

由|PA|＝|PB|，得kPN＝－1，即

y0＋1

＝－1， x0

得c＝3，从而a＝32，b＝3. 故椭圆E的方程为＋＝1.

189

x2y2

x2y2

10.已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的一个顶点为A(2，0)，离心率

ab为

2

.直线y＝k(x－1)与椭圆C交于不同的两点M，N. 2

(1)求椭圆C的方程； (2)当△AMN的面积为

10

时，求k的值. 3

a＝2，??c2

解 (1)由题意得?＝，

a2??a＝b＋c.

2

2

2

解得b＝2，所以椭圆C的方程为＋＝1.

42

x2y2

y＝k（x－1），??22

2222

(2)由?xy得(1＋2k)x－4kx＋2k－4＝0.

＋＝1，??42

设点M，N的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)， 则y1＝k(x1－1)，y2＝k(x2－1)， 4k2k－4

x1＋x2＝，xx＝1222，

1＋2k1＋2k所以|MN|＝（x2－x1）＋（y2－y1） ＝（1＋k）[（x1＋x2）－4x1x2] 2（1＋k）（4＋6k）

＝ 2

1＋2k2

2

2

22

2

2

2

4