山西省运城市康杰中学2020年高考数学模拟试题(1)理(含解析)

又∵

∴g（x）＞0的解集为（﹣∞，0）， 故选：D．

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．已知

，

是夹角为 ．

的两个单位向量， =

﹣2

， =k

+

，若?=0，

则实数k的值为

【考点】9R：平面向量数量积的运算． 【分析】利用向量的数量积公式求出k．

【解答】解：∵∴∴==∵∴解得

是夹角为

的两个单位向量

；利用向量的运算律求出

，列出方程求出

故答案为： 14．已知

的展开式中，x3项的系数是a，则

=

．

【考点】67：定积分；DB：二项式系数的性质．

【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于3，求得r的值，即可求得展开式中的含x3项的系数a的值，再求定积分，可得要求式子的值． 【解答】解：

的展开式的通项公式为Tr+1=C5r（）rx5﹣2r，

令5﹣2r=3则r=1 ∴x3的系数为

，

∴dx=lnx|=ln，

故答案为：ln

15．函数f（x）=

，若方程f（x）=mx﹣恰有四个不相等的实数根，则实

数m的取值范围是 （，） ．

【考点】53：函数的零点与方程根的关系．

【分析】方程f（x）=mx﹣恰有四个不相等的实数根可化为函数f（x）=

与

函数y=mx﹣有四个不同的交点，作函数f（x）=由数形结合求解．

与函数y=mx﹣的图象，

【解答】解：方程f（x）=mx﹣恰有四个不相等的实数根可化为

函数f（x）=与函数y=mx﹣有四个不同的交点，

作函数f（x）=与函数y=mx﹣的图象如下，

由题意，C（0，﹣），B（1，0）； 故kBC =，

当x＞1时，f（x）=lnx，f′（x）=； 设切点A的坐标为（x1，lnx1）， 则解得，x1=故kAC =

=； ；

；

结合图象可得，

实数m的取值范围是（，故答案为：（，

16．已知等边三角形ABC的边长为

，M，N分别为AB，AC的中点，沿MN将△ABC折成

）．

）．

直二面角，则四棱锥A﹣MNCB的外接球的表面积为 52π ． 【考点】LG：球的体积和表面积．

【分析】折叠为空间立体图形，得出四棱锥A﹣MNCB的外接球的球心，利用平面问题求解得

出四棱锥A﹣MNCB的外接球半径R，则R=AF+OF=13，求解即可． 【解答】解：由外心，

作OE⊥平面MNCB，OF⊥平面AMN，则O是四棱锥A﹣MNCB的外接球的球心，且OF=DE=3，AF=2． 设四棱锥A﹣MNCB的外接球半径R，则R=AF+OF=13，所以表面积是52π． 故答案为：52π．

2

2

2

222

，取BC的中点E，则E是等腰梯形MNCB外接圆圆心．F是△AMN

三、解答题（本大题共5小题，满分60分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤） 17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知

．

（1）求证：

；

，

（2）若a=2，求△ABC的面积． 【考点】HT：三角形中的几何计算．

【分析】（1）由正弦定理得：sinBcosC﹣sinCsinB=1，从而sin（B﹣C）=1，由此能证明

．

（2）由

，得

，

，由

，a=2，利用正弦定理求出b，c，由此能

求出三角形△ABC的面积． 【解答】证明：（1）由

…

整理得：sinBcosC﹣sinCsinB=1，

及正弦定理得：