§13.1函数列与函数项级数一致收敛性解析

?sinnxcosnx 例12 判断函数项级数 ? 和 在R内的一致收敛性 . ?22nnn?in?i?例13 若级数 敛 .

设un(x) ( n?1 , 2 , ? )是区间[ a , b ]上的单调函数. 试证明 :

n?u(a)与?un(b)都绝对收敛, 则级数?un(x)在区间[ a , b ]上绝对并一致收

留为作业. |un(x)| ? |un(a)|?|un(b)|.??

(?1 )n(x?n)n 例14 判断函数项级数?在区间[ 0 , 1 ]上的一致收敛性. n?1n(?1 )n?x? 解 记un(x)? , vn(x)??1??. 则有 1）级数?un(x)收敛;

n?n?2） 对每个x?[ 0 , 1 ], vn(x)↗；

n?x?3） |vn(x)|??1???e 对 ?x?[ 0 , 1 ]

?n?和?n成立. 由Abel判别法,

n?在区间[ 0 , 1 ]上一致收敛.

例15 设数列{an}单调收敛于零 . 试证明 : 级数

?ancosnx 在区间

[ ? , 2??? ] (0????)上一致收敛.

证 在[ ? , 2??? ]上有

1sin(n? )xn111112 |?coskx| ? ? ? ? ? ?.

xx?222k?12sin2|sin|2sin222可见级数

un?cosnx的部分和函数列在区间[ ? , 2??? ]上一致有界 . 取

(x)?cosnx , v(x)?a . 就有级数?u(x)的部分和函数列在区间[ ? , 2??? ]nnn上一致有界, 而函数列{vn(x)}对每一个x?[ ? , 2??? ]单调且一致收敛于零.由

Dirichlet判别法,级数

?ancosnx在区间[ ? , 2??? ]上一致收敛.

其实 , 在数列{an}单调收敛于零的条件下, 级数

?ancosnx 在不包含

2k? ( k?0 , ?1 , ?2 ,? )的任何区间上都一致收敛.