当前位置：首页 > 清华大学版数值分析绪论第1章
1yn?a?yn?1，
n研究计算结果的误差是否满足精度要求就是误差估计问题，本书主要讨论算法的截断误差与舍入误差，而截断误差将结合具体算法讨论。为分析数值运算的舍入误差，先要对误差基本概念做简单介绍。
2.2 绝对误差与相对误差
定义1 设
x为准确值，x为x的一个近似值，称e?x?x为近
***似值的绝对误差，简称误差。
注意这样定义的误差
e*可正可负，当绝对误差为正时近似值偏大，叫强
x，当然也不能算出误差
（赢）近似值；当绝对误差为负时近似值偏小，叫弱（亏）近似值。 的准确值，只能根
*据测量工具或计算情况估计出误差的绝对值不超过某正数，也就是误差绝
*对值的一个上界。叫做近似值的误差限，它总是正数。
通常我们不能算出准确值
e*??******一般情形x?x??，即x???x?x??。这个
**x?x??。
*我们把近似值的误差e与准确值x的比值
**ex?x? xx**称为近似值x的相对误差，记作er。
在实际计算中，由于真值x总是不知道的，通常取
***ex?xe***er?*?作为x的相对误差，条件是er?较小，此
**xxx不等式有时也表示为
5
时
eee(x?x)(e)(e/x)?*??***?***xxxxx(x?e)1?(e/x)
*****2**2*是r的平方项级，故可忽略不计。
?*相对误差也可正可负，它的绝对值上界叫做相对误差限，记作r，即
*???*r?x*。
注1：1）绝对误差是有量纲的量，它与所研究问题的背景有关，因此我们不能单单从绝对误差值的大小来判断计算结果的精度，还必须考虑到实际问题的应用背景；
2）通过引入相对误差，我们可比较不同算法，不同应用问题的计算精度，这一点是无法通过比较绝对误差做到的，因为不同值的东西，在量上是无法比较的。正如我们不能通过比较两个商品的使用价值来判定商品的真贵，只能通过抽象的价值。
2.3 有效数字
有效数字是近似值的一种表示法，它既能表示近似值的大小，又能表示其精确程度。
定义2 若近似值非零数字共有
n位，则称近似值有n位有效数字。
*在科学记数法中，将近似值x写成规格化形式为
mx??0.a1a2?an??10 (1-1)
6
x*的误差限是某一位的半个单位，该位到
x*的第一位
m为整数，a1?0,ai(i?2,?)为0到9之间的整数。按照定
*义2，近似值x有n位有效数字当且仅当
1*x?x??10m?n (1-2)
2因此在m相同的情形下，n越大则误差越小，亦即一个近似值的有效位数越
其中
多其误差限越小。
例1 按四舍五入原则写出下列各数具有5位有效数字的近似数:187.9325,0.03785551, 8.000033, 2.7182818。
按定义，上述各数具有5位有效数字的近似数分别是
注意
x?8.000033的5位有效数字的近似数是8.0000而不是8，
2
重力常数
187.93, 0.037856, 8.0000, 2.7183
因为8只有1位有效数字。
g，如果以m/s2为单位，
g?0.980?101m/s2；若以km/2s为单位，
?22g?0.980?10km/s，它们都具有3位有效数字，因为按第
例一种写法
11?21?3g?9.80??10??10，
22按第二种写法
11?5?2?3g?0.00980??10??10，
22他们虽然写法不同，但都具有3位有效数字。至于绝对误差限，由于单位不同结
果
也
不
同
，
7
11?22*?52???10m/s,?2??10km/s，而相对误差
22*都是?r?0.005/9.80?0.000005/0.00980。
*1例2说明有效位数与小数点后有多少位数有关。然而，从(2-2)可以得到
1m?n?10，在具有n位有效数字的近似数x，其绝对误差限为??2m?nm相同的情况下，n越大则10越小，故有效位数越多，绝对误差限越
**小。
关于一个近似数的有效位数与其相对误差的关系，有下面的定理 定理1.1 设近似数(1)若
x*x*具有规格化形式(1-1)，
具有
n位有效数字，则其相对误差限为
1*?r??10?n?1 (1-3)
2a1(2) 如果
1?n?1???10 (1-4)
2(a1?1)*r则
x*至少具有
n位有效数字。
m?1证明 由(1-1)可得到
a1?10当
?x?(a1?1)?10*m?1
x有n位有效数字时
* 8
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