湖北省黄冈中学2010年春季高一年级数学期末试题（文）及答案

20．(本小题满分13分)现有A、B、C、D四个长方体容器，A、B的底面积均为x2，高分别为x,y；C、D的底面积均为y2，高分别为x,y (其中x?y)．现规定一种两人的游戏规则：每人从四种容器中取两个盛水，盛水多者为胜，问在未能确定x与y大小的情况下先取A、B有没有必胜的把握？若先取A、D呢？

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21．(本小题满分14分)已知数列?an?中，a1?1,且点P?an,an?1??n?Nx?y?1?0上．

??在直线

（1）求数列?an?的通项公式； （2）若函数f(n)?值； （3）设bn?1an,Sn表示数列?bn?的前n项和．试问：是否存在关于n的整式g?n?，使得

1n?a11n?a21n?a31n?an??????n?N,且n?2?,求函数f(n)的最小

S1?S2?S3???Sn?1??Sn?1??g?n?对于一切不小于2的自然数n恒成立？若存在，写

出g?n?的解析式，并加以证明；若不存在，试说明理由．

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湖北省黄冈中学2010年春季期末考试高一数学试题（文）

答案

BBCAA BBBCD

1623ba5411．（0，2） 12．18 13 ? 14．60? 15．1??

16．解：（1）当a=4时，原不等式等价于

54x?5x?42?0，解得x<－2或?x?2，

45即集合M={x|x<－2，或?x?2}．

4 （2）由3∈M，得由5?M，得

5a?525?a3a?59?a≥0?0，解得a>9或a?53．

或25－a=0，解得1≤a≤25．

53综上所述，所求a的取值范围为1≤a?或9

17．解：由题知该几何体是一底面为矩形，高为4，顶点在底面的射影是矩形中心的四棱锥

P?ABCD．

（1）体积V?13?(8?6)?4?64

（2）该四棱锥有两个侧面PAD、PBC是全等的等腰三角形，且BC边上的高为

h1?8224?()?42；另外两个侧面PAB、PCD也是全等的等腰三角形，AB边上的高

2621124?()?5．故侧面积S?2(?6?42??8?5)?242?40

222h2?18．解：(1)S4?4(a1?a4)2?24,?a1?a4?12

又a1a4?27， d>0，∴a1?3,a4?9,d?2,，∴an?2n?1． （2）bn?12131anan?115)?(15?1(2n?1)(2n?3)17)???(12n?1?122n?112n?3(1?12n?3)

Tn?[(???)]?111n(?)=． 232n?36n?919．(1) 证：取CE的中点G，连FG、BG．

∵F为CD的中点，∴GF//DE且GF?12DE．

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∵AB?平面ACD，DE?平面ACD， ∴AB//DE，∴GF//AB． 又AB?12DE，∴GF?AB．

∴四边形GFAB为平行四边形，则AF//BG． ∵AF?平面BCE，BG?平面BCE， ∴AF//平面BCE．

(2) 证：∵?ACD为等边三角形，F为CD的中点，∴AF?CD

∵DE?平面ACD，AF?平面ACD，∴DE?AF． 又CD?DE?D，故AF?平面CDE．

∵BG//AF，∴BG?平面CDE．

∵BG?平面BCE，∴平面BCE?平面CDE． (3) 解：在平面CDE内，过F作FH?CE于H，连BH． ∵平面BCE?平面CDE， ∴FH?平面BCE． ∴?FBH为BF和平面BCE所成的角． 设AD?DE?2AB?2a，则FH?CFsin45??222222a，

BF?AB?AF?a?(3a)?2a，

FHBF24R t△FHB中，sin?FBH??．

∴直线BF和平面BCE所成角的正弦值为

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20．解：依题意可知，A、B、C、D四个容器的容积分别为x,xy,xy,y，按照游戏规则，若先取A、B，则后取者只能取C、D；

∵(x3?x2y)?(xy2?y3)?x2(x?y)?y2(x?y)?(x?y)(x?y)2,

22 显然(x?y)?0而x,y的大小不确定，∴(x?y)(x?y)的正负不能确定．

3223 即x3?x2y与xy2?y3的大小不定，这种取法无必胜的把握． 若先取A、D ，则后者只能取B、C．

33222222∵(x?y)?(xy?xy)?(x?y)(x?xy?y)?xy(x?y)?(x?y)(x?2xy?y)

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=(x?y)(x?y)2，x?y,x?0,y?0，∴(x?y)(x?y)2?0 ∴x3?y3?x2y?xy2 ，故先取A、D必胜． 21．

解:（1）∵点P(an,an?1)在直线x?y?1?0上，即an?1?an?1,且a1?11为公差的等差数列。 ∴数列?an?是以1为首项，∴an?1?(n?1)?1?n(n?2),a1?1也满足.∴an?n.（2）∵f(n)?f(n?1)?1n?21n?1??1n?21n?312n?1????1n?4?12n,12n1n?1?12n?1?12n?2?12n?2?71212n?2。，?1n?1

???1?

?0,∴f(n?1)?f(n)?2n?2∴f(n)是单调递增的，故f(n)的最小值是f(2)?（3）∵bn?1n?Sn?1?12?13???1n,?Sn?Sn?1?1n(n?2),即nSn?(n?1)Sn?1?Sn?1?1,?(n?1)Sn?1?(n?2)Sn?2?Sn?2?1,??，S2?S1?S1?1，∴nSn?S1?S1?S2???Sn?1?n?1,∴S1?S2???Sn?1?nSn?n?(Sn?1)?n(n?2)?g(n)?n.故存在关于n的整式g(n)?n，使等式对于一切不小于2的自然数n恒成立

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