隐函数与参数方程微分法

§3 隐函数与参数方程微分法

1． 隐函数微分法

显函数 y?1?x2， y?ex?sinx 隐函数 x2?y2?1， y?ex?siny

对于方程 F(x,y)＝0，

若存在集合X，对任意x?X，存在唯一确定的y?R，使得点对(x,y)满足上述方程，则称方程F(x,y)＝0确定了隐函数，记为 y?f(x)，x?X．

)0，x?X． 这时有 F(x,f(x)＝

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例l 方程x2?y2?1可以确定隐函数

y?1?x2， x?[?1,1] y??1?x2， x?[?1,1]

并非任一方程都可确定隐函数，例如，方程 x2?y2?5?0 在实数系里就不可能确定任何隐函数．

以下我们假定：在一定条件下，

方程F(x,y)＝0可以确定隐函数y?f(x)，并且是可导的．

例2 由方程x2?y2?1确定隐函数y?f(x)，求

dy dx解法1 （用复合函数求导法）在方程两边对x求导，得恒等式 2x?2yy??0．

解得 y?＝?x y

解法2 （利用微分运算）在方程 x2?y2?1 两边求微分得 2xdx?2ydy?0

解得 y??

1dy例3 已知y?x?siny?0，求．

2dxdyx＝－ dxy解 在方程两边对x求导，并注意y是x的函数,得

1y?－1－cosyy?＝0

2解得 y?＝

1 11?coys2dy. dx例4 已知xy＝yx（x?0，y?0），求

解 在方程两边取对数得 ylnx?xln y两边对x求导，得 y?lnx＋

1xy＝lny＋y?， xyxylny?y2解得 y?＝ 2xylnx?x

2、参数方程微分法

在解析几何中，常用参数方程表示曲线，例如椭圆的参数方程为

?x?acost,2 ] t?[0,???y?bsint,一般地，设曲线的参数方程为

?x?x(t), ?． t?[a,b]

?y?y(t),若x(t)有反函数t?t(x)，则可得复合函数 y?y(t(x)).

进一步设x(t)和y(t)在[a,b]连续、可导，且x?(t)?0．由复合函数求导法和反函数求导法得

dydydty?(t)=?= dxdtdxx?(t)?x?acost,例5 已知椭圆参数方程为 ? t?[0,?2，]

y?bsint,?求

例6 一轮子沿一直线滚动，轮子上一定点的轨迹曲线称为旋轮线，其

参数方程为

dy. dx?x?a(t?sint) 0≤ t≤2? ?y?a(1?cost)?求出曲线上斜率为1的切线．

解 旋轮线上任一点切线的斜率为 y?x＝令y?x＝1，解得t＝

yt?tasint＝＝cot

2a(1?cost)xt???，对应旋轮线上的点(a(?1),a),故斜率为1的

22?2?1，) )＝0.

切线为 y?a＝x?a(化简为 x?y?a(2??2