空间点、直线、平面之间的位置关系

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第八章 立体几何初步第1课时

系

空间点、直线、平面之间的 位置关

?对应学生用书（文）97～99页???? （理）99～101页?

考情分析 考点新知 理解空间点、线、面的位置关系；会用数学语言规范的表述空间点、线、面的位置关 理解空间直线、平面位置关系的定义，系．了解公理1、2、3及公理3的推论1、2、能判定空间两直线的位置关系；了解异面直线所成角. 3，并能正确判定；了解平行公理和等角定理．

1. (原创)已知点P、Q，平面α，将命题“P∈α，Q?αTPQ?α”改成文字叙述是________．

答案：若点P在平面α内，点Q不在平面α内，则直线PQ不在平面α内．

解析：正确理解符号语言表达空间点、线、面之间的位置关系，能正确进行自然语言、图形语言和符号语言的相互转化．

2. (原创)有下列命题：①空间四点共面，则其中必有三点共线；②空间四点不共面，则其中任何三点不共线；③空间四点中有三点共线，则此四点共面；④空间四点中任何三点不共线，则此四点不共面．其中正确的命题是________．(填序号)

答案：②③

解析：①只须四点共面，任何三点不必共线；②③正确；④错误． 3. (必修2P28习题1改编)在正方体ABCDA1B1C1D1中，与AD1平行的对角线有________条. 答案：1

解析：与AD1平行的对角线仅有1条，即BC1.

4. (必修2P31练习12改编)如图所示，在三棱锥A－BCD中，E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，DA的中点，则

(1) 当AC，BD满足条件________时，四边形EFGH为菱形； (2) 当AC，BD满足条件________时，四边形EFGH是正方形． 答案：AC＝BD AC＝BD且AC⊥BD

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解析：易知EH∥BD∥FG，且EH＝BD＝FG，同理EF∥AC∥HG，且EF＝AC＝HG，显然四

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边形EFGH为平行四边形．要使平行四边形EFGH为菱形需满足EF＝EH，即AC＝BD；要使四边形EFGH为正方形需满足EF＝EH且EF⊥EH，即AC＝BD且AC⊥BD.

5. (必修2P24练习3改编)设P表示一个点，a，b表示两条直线，α、β表示两个平面，给出下列四个命题，其中正确的命题是________．(填序号)

① P∈a，P∈αTaìα； ② a∩b＝P，bìβTaìβ；

③ a∥b，aìα，P∈b，P∈αTbìα；

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④ α∩β＝b，P∈α，P∈βTP∈b.

答案：③④

解析：当a∩α＝P时，P∈α，P∈α，但a?α，∴ ①错；a∩β＝P时，②错；如图，∵ a∥b，P∈b，∴ P?a，∴ 由直线a与点P确定唯一平面α.又a∥b，由a与b确定唯一平面γ，但γ经过直线a与点P，∴ γ与α重合，∴ bìα，故③正确；两个平面的公共点必在其交线上，故④正确．

1. 公理1：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线上所有点都在这个平面内．

公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他的公共点，这些公共点的集合是一条直线．

公理3：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面．

推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面． 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面． 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面． 2. 空间两条直线的位置关系

位置关系 共面情况 公共点个数 相交直线 在同一平面内 1 平行直线 在同一平面内 没有 异面直线 不同在任何一个平面内 没有 3. 平行直线的公理及定理 (1) 公理4：平行于同一条直线的两条直线平行． (2) 定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等．

[备课札记]

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题型1 平面的基本性质

例1 画一个正方体ABCDA1B1C1D1，再画出平面ACD1与平面BDC1的交线，并且说明理由． 解：F∈CD1、F∈平面ACD1、E∈AC、E∈平面ACD1、E∈BD、E∈平面BDC1、F∈DC1、F∈平面DC1B，则EF为所求．

备选变式（教师专享）

在长方体ABCDA1B1C1D1的A1C1面上有一点P(如图所示，其中P点不在对角线B1D1)上． (1) 过P点在空间作一直线l，使l∥直线BD，应该如何作图？并说明理由；

?π?(2) 过P点在平面A1C1内作一直线m，使m与直线BD成α角，其中α∈?0，?，这样

2??

的直线有几条，应该如何作图？

解：(1) 连结B1D1，BD，在平面A1C1内过P作直线l，使l∥B1D1，则l即为所求作的直线，如图(a)．∵ B1D1∥BD，l∥B1D1，∴ l∥直线BD.

图(a)

(2) ∵ BD∥B1D1，∴ 直线m与直线BD也成α角，即直线m为所求作的直线，如图(b)．由

?π?图知m与BD是异面直线，且m与BD所成的角α∈?0，?.

2??

ππ

当α＝时，这样的直线m有且只有一条，当α≠时，这样的直线m有两条．

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图(b)

题型2 共点、共线、共面问题

1

,例2) 如图，四边形ABEF和ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC∥=

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1

AD，BE∥=FA，G、H分别为FA、FD的中点．

2

(1) 证明：四边形BCHG是平行四边形． (2) C、D、F、E四点是否共面？为什么？

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(1) 证明：由已知FG＝GA，FH＝HD，可得GH∥=AD.又BC∥=AD，∴ GH∥=BC.∴ 四

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边形BCHG为平行四边形．

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(2) 解：(解法1)由BE∥=AF，G为FA中点知，BE∥=FG，∴ 四边形BEFG为平行四

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边形．∴ EF∥BG.由(1)知BG∥CH，∴ EF∥CH，∴ EF与CH共面．又D∈FH，∴ C、D、F、E四点共面．

1

(解法2)如图，延长FE、DC分别与AB交于点M、M′，∵ BE∥=AF，∴ B为MA中点．

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1

∵ BC∥=AD，∴ B为M′A中点．∴ M与M′重合，即FE与DC交于点M(M′)．∴ C、

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D、F、E四点共面．

变式训练

如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，对角线A1C与平面BDC1交于点O，AC、BD交于点M，E为AB的中点，F为AA1的中点．求证：

(1) C1、O、M三点共线； (2) E、C、D1、F四点共面．

证明：(1) ∵ C1、O、M∈平面BDC1，又C1、O、M∈平面A1ACC1，由公理2知，点C1、O、M在平面BDC1与平面A1ACC1的交线上，∴ C1、O、M三点共线．

(2) 连结EF，A、B、C、D，∵ E、F分别是AB，A1A的中点，∴ EF∥A1B.∵ A1B∥CD1，∴ EF∥CD1.∴ E、C、D1、F四点共面．

题型3 空间直线位置关系问题

例3 已知A是△BCD平面外的一点，E，F分别是BC，AD的中点． (1) 求证：直线EF与BD是异面直线；

(2) 若AC⊥BD，AC＝BD，求EF与BD所成的角．

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