2016-2017学年江苏省扬州市高三(上)期末数学试卷及答案

令q′（x）＞0，解得：0＜x＜令q′（x）＜0，解得：x＞故q（x）max=q（∴e?

＞

，

，

）=e2， ，

故命题得证．

21．已知a，b∈R，若点M（1，2）在矩阵A=（2，﹣7），求矩阵A的特征值． 【考点】特征值与特征向量的计算．

【分析】先求出矩阵A，再利用矩阵A的特征多项式f（λ）=（λ﹣5）=0，求矩阵A的特征值． 【解答】解：由题意得∴A=

，

=（λ﹣3）（λ﹣5），

=

，∴

，∴a=4，b=1，

=（λ﹣3）

对应的变换作用下得到点N

∴矩阵A的特征多项式f（λ）=由f（λ）=0，可得λ=3或5．

22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数），

以直角坐标系原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为θ=

，试求直线l与曲线C的交点的直角坐标．

【考点】参数方程化成普通方程．

【分析】将两方程化为普通方程，联立，即可求出直线l与曲线C的交点的直角坐标．

【解答】解：直线l的极坐标方程为θ=方程为

，直角坐标方程为y=x，曲线C的参数

（α为参数），普通方程为y=2﹣x2（﹣1≤x≤1），

联立方程可得x2+x﹣2=0，∴x=1或x=﹣2（舍去）， ∴直线l与曲线C的交点的直角坐标为（1，1）．

23．为了提高学生学习数学的兴趣，某校决定在每周的同一时间开设《数学史》、《生活中的数学》、《数学与哲学》、《数学建模》四门校本选修课程，甲、乙、丙三位同学每人均在四门校本课程中随机选一门进行学习，假设三人选择课程时互不影响，且每一课程都是等可能的．

（1）求甲、乙、丙三人选择的课程互不相同的概率；

（2）设X为甲、乙、丙三人中选修《数学史》的人数，求X的分布列和数学期望E（X）．

【考点】离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列．

【分析】（Ⅰ）根据分步计数原理总事件数是43，满足条件的事件数是A43，利用古典概率计算公式即可得出．

1，2，3．P（Ⅱ）设X为甲、乙、丙三人中选修《数学史》的人数，则X=0，（ξ=0）=

；P（ξ=1）=

；P（ξ=2）=

；P（ξ=3）=

，即可得出．

【解答】解：（Ⅰ）根据分步计数原理总事件数是43，满足条件的事件数是A43，

∴3个学生选择了3门不同的选修课的概率：P1==

（Ⅱ）设X为甲、乙、丙三人中选修《数学史》的人数，则X=0，1，2，3． P（X=0）=

=

；

P（X=1）==；

P（X=2）=P（X=3）=

=

=．

；

∴X的分布列为：

X P ∴期望Eξ=0×

+1×

0 1 2 3 ++3×=．

24．已知Fn（x）=（﹣1）0Cn0f0（x）+（﹣1）1Cn1fi（x）+…+（﹣1）nCnnfn（x），（n∈N*）（x＞0），其中，fi（x）（i∈{0，1，2，…，n}）是关于x的函数． （1）若fi（x）=xi（i∈N），求关于F2（1），F2017（2）的值； （2）若fi（x）=

（i∈N），求证：Fn（x）=

（n∈N*）．

【考点】函数的值．

【分析】（1）由fi（x）=xi（i∈N），求出Fn（x）=（1﹣x）n，由此能求出F2（1）和F2017（2）． （2）由fi（x）=

（i∈N），知Fn（x）=

，（n∈N*），由此利

（n∈N*）．

用数学归纳法能证明Fn（x）=

【解答】解：（1）∵fi（x）=xi（i∈N），

∴Fn（x）=（﹣1）0Cn0x0+（﹣1）1Cn1x1+…+（﹣1）nCnnxn=（1﹣x）n， ∴F2（1）=（1﹣1）2=0， F2017（2）=（1﹣2）2017=﹣1． 证明：（2）∵fi（x）=

（i∈N），

，

0011nn

=Cnf（CnfCnf（=∴F（（﹣1）+（﹣1）（+…+（﹣1）nx）0x）ix）nx）

（n∈N*），

①当n=1时，Fn（x）=

=1﹣

=

，∴n=1时，结论成立；

②假设n=k时，结论成立，即Fk（x）=

=，

则当n=k+1时，Fk+1（x）=

=1++（﹣1）

=+

=

=

=

=====

∴n=k+1时，结论也成立． 结合①②知Fn（x）=

﹣

，

（n∈N*）．