计量作业第2章-第4章

第二章 一元线性回归模型

1、 最小二乘法对随机误差项u作了哪些假定？说明这些假定条件的意义。 答：假定条件：

(1)均值假设：E(ui)=0,i=1,2,…；

(2)同方差假设：Var(ui)=E[ui-E(ui)]2=E(ui2)=σu2 ,i=1,2,…；

(3)序列不相关假设：Cov(ui,uj)=E[ui-E(ui)][uj-E(uj)]=E(uiuj)=0,i≠j,i,j=1,2,…； (4)Cov(ui,Xi)=E[ui-E(ui)][Xi-E(Xi)]=E(uiXi)=0；

(5)ui服从正态分布, ui～N(0,σu2)。

意义：有了这些假定条件，就可以用普通最小二乘法估计回归模型的参数。 2、 阐述对样本回归模型拟合优度的检验及回归系数估计值显著性检验的步骤。 答：样本回归模型拟合优度的检验：可通过总离差平方和的分解、样本可决系数、样本相关系数来检验。

回归系数估计值显著性检验的步骤： (1)提出原假设H0 ：β1=0； (2)备择假设H1 ：β1≠0； (3)计算 t=β1/Sβ1；

(4)给出显著性水平α，查自由度v=n-2的t分布表，得临界值tα/2(n-2)；

(5)作出判断。如果|t|tα/2(n-2)，拒绝H0 ，接受H1:β1≠0，表明X对Y有显著影响。

4、 试说明为什么∑ei2的自由度等于n-2。

答：在模型中，自由度指样本中可以自由变动的独立不相关的变量个数。当有约束条件时，自由度减少，其计算公式：自由度=样本个数-受约束条件的个数，即df=n-k。一元线性回归中SSE残差的平方和，其自由度为n-2,因为计算残差时用到回归方程，回归方程中有两个未知参数β0和β1，而这两个参数需要两个约束条件予以确定，由此减去2，也即其自由度为n-2。

5、 试说明样本可决系数与样本相关系数的关系及区别，以及样本相关系数与β^1的关系。 答：样本相关系数r的数值等于样本可决系数的平方根，符号与β1相同。但样本相关系数与样本可决系数在概念上有明显的区别，r建立在相关分析的理论基础之上，研究两个随机变量X与Y之间的线性相关关系；样本可决系数r2建立在回归分析的理论基础之上，研究非随机变量X对随机变量Y的解释程度。

6、 已知某市的货物运输量Y(万吨)，国内生产总值GDP(亿元，1980年不变价)1985~1998年的样本观测值见下表(略)。

Dependent Variable: Y Method: Least Squares Date: 10/28/13 Time: 10:25

Sample: 1985 1998 Included observations: 14

Variable GDP C

R-squared Adjusted R-squared S.E. of regression Sum squared resid Log likelihood F-statistic Prob(F-statistic)

Coefficient 26.95415 12596.27

Std. Error 4.120300 1244.567

t-Statistic 6.541792 10.12101

Prob. 0.0000 0.0000 20168.57 3512.487 17.85895 17.95024 17.85050 0.859998

0.781002 Mean dependent var 0.762752 S.D. dependent var 1710.865 Akaike info criterion 35124719 Schwarz criterion -123.0126 Hannan-Quinn criter. 42.79505 Durbin-Watson stat 0.000028

(1) 一元线性回归方程 Yt=12596.27+26.95415GDPt ∧ (2) 结构分析 β^1=26.95425是样本回归方程的斜率，它表示某市货物运输量的

情况，说明货物运输量每增加1亿元，将26,95425用于国内生产总值；β^0=12596.27是样本回归方程的截距，它表示不受货物运输量影响的国内生产总值。

(3)统计检验 r2=0.78 说明总离差平方和的78％被样本回归直线解释，有22％没被解释，说明样本回归直线对样本点的拟合优度还是比较高的。 显著性水平 α=0.05，查自由度v=14-2=12的t分布表，得临界值t0.025(12)=2.18

(4)预测区间1980~2000

obs 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997

GDP

161.69

RESID

1294.51817047138

Y

YF

YFSE

18249 16954.48182952862 1837.805042947807 18525 17207.31173616951 1827.852258571768 18400 17557.71565795326 1815.329074565951 16693 17845.58595677253 1806.164743584577 15543 17929.41335652233 1803.689193053205 15929 18217.55319681989 1795.851377857323 18308 18554.74958616718 1788.013873793755 17522 19251.78384903854 1776.450315989464 21640 20057.17378618458 1770.995648870701 23783 21124.01895727694 1776.926294021264 24040 22394.63748596048 1803.310480128086 24133 23795.98363161718 1855.694986909933 25090 25150.96864300711 1927.747214173007

171.07 1317.688263830489 184.07 842.2843420467398 194.75 -1152.585956772524 197.86 -2386.413356522331 208.55 -2288.553196819888 221.06 -246.7495861671741 246.92

-1729.78384903854

276.8 1582.826213815424 316.38 2658.981042723055 363.52 1645.362514039523 415.51 337.0163683828214 465.78 -60.96864300710876

1998 1999 2000

509.1

620

-1813.62232698188

24505 26318.62232698188 2004.982737266598

29307.83732127556 2255.639096466328

单个值预测区间 Y2000∈[29307.84-2.10×2255.64,29307.84+2.10×2255.64] 均值预测区间 E(Y2000)∈[29307.84-2.10×2255.64,29307.84+2.10×2255.64] 8、查中国统计年鉴，利用1978~2000的财政收入和GDP的统计资料，要求以手工和EViews软件。 (1)散点图

100,00080,00060,000GDP40,00020,0000010,00030,00050,000Y70,00090,000

Prob. 0.0000 0.0023 22634.30 23455.82 13.22390 13.32264 13.24873 0.984085

Dependent Variable: Y Method: Least Squares Date: 10/29/13 Time: 16:40 Sample: 1978 2000 Included observations: 23

Variable GDP C

R-squared Adjusted R-squared S.E. of regression Sum squared resid Log likelihood F-statistic Prob(F-statistic)

Coefficient 0.986097 174.4171

Std. Error 0.001548 50.39589

t-Statistic 637.0383 3.460939

0.999948 Mean dependent var 0.999946 S.D. dependent var 172.6972 Akaike info criterion 626310.6 Schwarz criterion -150.0748 Hannan-Quinn criter. 405817.8 Durbin-Watson stat 0.000000

一元线性回归方程 Y=174.4174+0.98GDPt

经济意义 国名收入每增加1亿元，将有0.98亿元用于国内生产总值。

(2)检验 r2=99％，说明总离查平方和的99％被样本回归直线解释，仅有1％未被解释，所以说样本回归直线对样本点的拟合优度很高。

显著性水平α=0.05，查自由度v=23-2=21的t分布表，得临界值t0.025(21)=2.08。 (3)预测值及预测区间

obs 1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995

Y 3645.2 4062.6 0001 4889.5 4889.5 5330.5 5985.6 7243.8 0001 12050.6 10274.4 12050.6 15036.8 17000.9 18718.3 35260 21826.2 26937.3

YF 0003 6764 3003 0059 0059 2558 0461 2203 124 1504 8973 1504 7724 6771 1982 8564 3883 7555

YFSE 3616 9417 7366 0318 0318 8803 6242 8901 9931 8916 4058 8916 1318 0277 3878 4038 4463 9769

GDP 3645.2 4062.6 0001 0001 0001 9999 5962.7 7208.1 9016 12058.6 10275.2 12058.6 15042.8 16992.3 18667.8 35333.9 21781.5 26923.5

3768.93952756178.8799078874180.53660248178.774077728

4545.600000004656.82167002178.6544531234545.60000000

4998.01138714178.5706344694891.600000004998.01138714178.5706344694891.600000005423.80826532178.4682301135323.399999996054.22036403178.3211083267282.30612616178.049950484

9040.700000009065.07170297177.692806300

12065.3717992177.18993986310306.7656098177.46970522712065.3717992177.18993986315008.0838044176.81723943916930.4807799176.63858745418582.6870546176.52612644235017.0857379177.47918488521653.0986794176.41823937226723.6117586176.528268981