张玲论文

07数学与应用数学 浅谈Banach空间上的幂等算子

P2x=Px=Py.由P是一对一的，知x?y，故P=I,与P?I矛盾，这说明P不可能是一对一且到上。

综上有?（P）={0,1}.

定理3.15 设I与P分别是非零的Banach空间单位算子与零算子，则

?（I）={1}，?（P）={0}.

结论3.3.1 Banach空间X的幂等算子的本征值是0或1。

结论3.3.2 若P是X幂等算子，则X1?PX,X0?N(P),其中X1，X0分别表示对应于本征值1与0的本征子空间。

（P）={0}?P=0. 结论3.3.3 若P是X幂等算子，则?四、幂等算子的等价命题

定理4.1 设P,Q是两个幂等算子，则PQ=0? QX?N(P). 证明: ? 对任意x?QX存在y?X使x?Qy, 因PQ=0则Px?PQy?0,即x?N(P),故QX?N(P).

?若QX?N(P)则对任意的x?X ,对Qx?QX?N(P),从而有PQx?0,故

PQ?0

命题4.1 P,Q是两个幂等算子，则P左垂直Q?QX?N(P)。 证明：?若P左垂直Q，则PQ?0?PQX?0，所以QX?N(P)。

?若QX?N(P),则对任意的x?X ,对Qx?QX?N(P),从而有PQx?0,故

PQ?0.

定理4.2 若P,Q是两个幂等算子，则P?Q?QX?N(P),PX?N(Q)。

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07数学与应用数学 浅谈Banach空间上的幂等算子

证明：? P,Q是两个幂等算子，且P?Q,所以PQ?QP?0， 由此?QX?N(P),PX?N(Q)。

?若QX?N(P),PX?N(Q)，则QP?PQ?0，所以P?Q。

定理4.3 设P,Q是两个幂等算子，则P+Q是幂等算子?P?Q当P+Q 是幂等算子时,(P?Q)X?PX?QX.

2证明：?P+Q=(P+Q)?P2?PQ?QP?Q2?P?PQ?QP?Q，

所以有 PQ?QP=0，

左右分别乘以P得 PQ+PQP=0，PQP+QP=0， 即PQ-QP?0再由PQ?QP=0，得PQ?0,从而QP?0;即P?Q。

?由P?Q有QP?PQ?0,从而有

2(P+Q)?P2?PQ?QP?Q2=P?PQ?QP?Q=P?Q.

所以P?Q也是幂等算子。

下证(P?Q)X=PX?QX.

对x?(P?Q)X,?y?X使 x=(P?Q)y=Py+Qy?PX?QX. 反之，对x?PX?QX，?x1?PX,x2?QX,使x=x1+x2, 从而?y1?X，y2?X,使 x1=Py1，x2=Qy2，

于是：(P?Q)x=(P?Q（)x1+x2）=(P?Q（)Py1+Qy2）=Py1?PQy2?QPy1?Qy2?x1+x2?x. 所以x?(P?Q)X.

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综上所述(P?Q)X=PX?QX.

定理4.4 设P,Q是两个幂等算子，则下列条件是等价的：

1）PX?QX;2)QP=P;3)Q|P=P.

?2），证明：1）PX?QX,对任意的x?X有QPx=Px，即QP=P 2）?3），对x?PX有y?X，使x?Py.Q|Px=Qx=QPy=Py=x=Px,即Q|P=P. 3）?1），对x?PX，Qx=Q|Px=Px=x，所以x?QX,故PX?QX.

定理4.5 若P,Q是两个幂等算子，则P?Q成为幂等算子?PQ?QP且QX?PX,当P?Q是幂等算子时(P?Q)X=PX?QX.

证明：?P?Q是幂等算子，Q是幂等算子，且(P?Q)+Q=P也是幂等算子，由定理4.3知：(P?Q)Q=0；Q(P?Q)=0.

从而有PQ?QP?Q,由定理4.4知PQ?Q等价于QX?PX,所以P?Q成为幂等算子的必要条件是PQ?QP且QX?PX.

?由QX?PX可得PQ?Q,再由PQ?QP得PQ?QP=Q,由此便得：

(P?Q)2=P?PQ?QP?Q?P?Q?Q?Q?P?Q,

所以P?Q也是幂等算子.由于(P?Q)+Q=P是幂等算子，由定理4.3有

[(I?P)?Q]=(I?P)X+QX，

而[(I?P)?Q]X=PX,故有 PX=(P?Q)X+QX， 即 (P?Q)X=PX?QX.

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定理4.6 设P,Q是幂等算子，如果P?Q与P?Q同时是幂等算子?Q=0. 证明：如果P?Q是幂等算?由定理3.9的证明知如果P?Q是幂等算子?PQ?Q，子知PQ?0=Q

?如果Q=0则 (P?Q)2?P?PQ?QP?Q=P=P?Q，(P+Q)2?P+PQ+QP?Q=P=P+Q

所以P?Q与P?Q同时是幂等算子.

定理4.7 如果P,Q是幂等算子，且满足??C\\{0,1}，则?P?(1??)Q是幂等的充要条件是(P?Q)2?0

证明：必要性：如果?P?(1??)Q是幂等的，那么

??P?(1??)Q?22??P?(1??)Q

2得 ?P?(1??)Q???P?(1??)Q?=??(P?Q)?Q???2(P?Q)2?2?(P?Q)Q?Q

=?2(P?Q)2?2?PQ?(1?2?)Q?(?2??)(P?Q)2??P?(1??)Q

即 (?2??)(P?Q)2=0 因为??C\\{0,1}，所以(P?Q)2?0.

充分性：从必要性的证明中可以得到

??P?(1??)Q?2?(?2??)(P?Q)2??P?(1??)Q

2如果(P?Q)2?0，那么 ??P?(1??)Q?=?P?(1??)Q 因此?P?(1??)Q是幂等的。

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