张玲论文

07数学与应用数学 浅谈Banach空间上的幂等算子

(P*)2=(P?Q)(P?Q)?P2?PQ?QP?Q2?P?PQ?QP?Q

0??0PQ?IP?00?1??0122?PQ????0Q???????

000000???????22??00??IP?00?1? QP?????????0Q22??00??00?所以(P*)2=P?Q=P*，即P*是幂等的。

?I0??IP1?(iii)若?1??1,?2?1，则P*=Q?P，其中P??，Q?1?PQ122 ???，P?00??0Q22?(P*)2=(Q?P)2?(Q?P)(Q?P)?Q2?QP?PQ?P2=Q?QP?PQ?P

0??IPQ?IP?IP1??I122?1?而PQ??????0Q?????=P

0??00??00???022??I0??IP?IP1?1?QP????????=P

0Q0000????22??所以(P*)2=Q?QP?PQ?P=Q?P=P* 即P*是幂等的。

?IP?Q110?1?(iv)若?1?1,?2??1，则P*?P?Q其中P??，Q?1?0. ???,Q11P0000????(P*)2=(P?Q)2?(P?Q)(P?Q)?P2?PQ?QP?Q2?P?PQ?QP?Q 0??Q110??IP1??Q11PQ?????????Q

?00??00??00??Q110??IP?Q110?1?QP?????????Q ?00??00??00?所以(P*)2=P?Q=P*，即P*是幂等的。证毕。

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三、Banach空间上的幂等算子

以下所论的幂等算子若无特别说明均指Banach空间（X，.）上的幂等算子。

（一）幂等算子的性质及定理

性质1. 设P为k(k?1)次幂等算子，则P的任意正整数次幂也为k次幂等算子。 证明：设m为任意正整数，由Pk?P，则(Pm)k?(Pk)m?Pm。 性质2. 设P是幂等算子，P把X投影到PX={xPx?x,x?X}上。 性质3. 设P是幂等算子，P的零空间N(P)={x?Pxx?X}。

证明：P(x?Px)=Px-Px=0,所以x?Px?N(P)，?y?N(P),则Py?0，则有

y?y?Py

所以 N(P)={x?Pxx?X}

性质4. 设P是幂等算子，P?0或者P?1。

证明：由算子范数的定义P?supPxx(x?0,x?X), Px=x?Px，所以

P?1，当x=0时，P?0

性质5. 设P是幂等算子，Px?x,x?X?x?PX。

证明：?若Px?x,x?X，P2x?Px，令Y?Px=x则PY?Y，Y?PX，即x?PX

?若x?PX ，则存在Y?X 使x?PY,Px?PPY?PY?x 性质6. 设P是幂等算子，若x?PX?N(P),则x=0。

证明：若x?PX?N(P)则x?PX且x?N(P),因P是幂等算子，则Px=x,由

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x?N(P)知Px=0，所以有x=0。

性质7. 设P是幂等算子，对任意x?X ，存在x1?PX,x2?N(P) 使x?x1?x2, 且

x1、x2 是唯一的。

定理3.1：设P,Q是幂等算子，若PX?QX,则PQ?QP?P?Q.

证明：?若PX?QX,则对任意的x?X都有Px=Qx,取x=Q,有PQ=QQ= Q2=Q, 取x=P,有P2=P=QP,而PQ=QP,从而P?Q。

充分性显然。

定理3.2：若P,Q是幂等算子，如果P?Q是幂等算子，则PQ=0。 证明：若P?Q是幂等算子，即(P?Q)?(P?Q)2,而

(P?Q)2?(P?Q)(P?Q)?P2?PQ?QP?Q2?P?PQ?QP?Q 得PQ?QP?0，左乘P得 PQ?PQP?0 再右乘P得 PQP?PQP?0 即PQP?0再由PQ?PQP?0知PQ=0。

定理3.3 设P,Q是幂等算子，若(P?Q)2?P?Q,则PQ=QP=0。 证明：由(P?Q)2=(P?Q)(P?Q)=P?PQ?QP?Q?P?Q得

PQ?QP?0，

左乘P得 PQ?PQP?0 再右乘P得 PQP?PQP?0

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即PQP?0因PQ?PQP?0所以PQ=0 下面证QP?0

由(P?Q)2=(P?Q)(P?Q)=P?PQ?QP?Q?P?Q得PQ?QP?0， 将式子PQ?QP?0两边左乘Q得 QPQ?Q2P?0 即 QPQ?QP?0 再右乘Q得 QPQ?QPQ?0, 即QPQ?0，由式子QPQ?QP?0知QP?0。

定理3.4 设P，Q是两个幂等算子，则下列条件之一是PQ成为幂等算子的充分

）PQ?QP;2)PX?QX;3)QX?PX;4)PQX?QX.并且当上述条件之一成立时，条件1有PQX?PX?QX.

2）PQ?QP时 (PQ)证明：1?PQPQ?PPQQ?PQ.

下证当1）成立时有PQX?PX?QX.

对x?PQX，有x?PX,又因PQ?QP，所以x?QPX，从而x?QX，故x?PX?QX. 反之，若x?PX?QX.则PQx?Px?x,故x?PQX.

2）PX?QX时，对任意的x?X有QPx=Px即QP=P 则x?PX?QX， ?(PQ)2?PQPQ?P2Q=PQ.若x?PQX，故x?PX?QX.反之，若x?PX?QX，则PQx?x,故x?PQX.

3)QX?PX时，对任意的x?X有，PQx?Qx

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